東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾 塾長白井精一郎のブログ

中学生でも手が届く京大入試問題(51)

2018-12-13 11:40:50 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成15年度京大入試問題(前期、文系)です。

問題は、
「pは3以上の素数であり、x、yは0≦x≦p、0≦y≦pを満たす整数であるとする。このとき

を2pで割った余りと、

を2pで割った余りが等しければ、x=yであることを示せ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。


を2pで割ったときの余りをrとすると、

が成り立ちます。

すると、(1)-(2)から

になり、このときpは素数なので、x-yまたはx+yがpの倍数になります。

一方、0≦x≦p、0≦y≦pから
-p≦x-y≦p
 0≦x+y≦2p     (4)      
になので、
・ x-yがpの倍数の場合、x-p=-p,0,p
・ x+yがpの倍数の場合、x+p=0,p,2p
です。

[1]x-y=±pの場合
(3)から
x+y=±2(m-n)
で、これにx=y±pを代入すると、
2y±p=±2(m-n)  (5)
になり、(5)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(5)は成り立ちません。

[2]x-y=0の場合
x=yで、これはm=nのとき(1)、(2)を満たします。

[3]x+y=0の場合
(4)からx=y=0で、m=n=r=0のとき(1)、(2)を満たします。

[4]x+y=pの場合
(3)から
x-y=2(m-n)
で、これにy=p-xを代入すると、
2x-p=2(m-n)   (6)
になり、(6)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(6)は成り立ちません。

[5]x+y=2pの場合
(4)からx=y=pで、m=nのとき(1)、(2)を満たします。

以上から、与えられた条件が満たされる場合、x=yになります。


簡単な問題です。

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