こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成15年度京大入試問題(前期、文系)です。
問題は、
「pは3以上の素数であり、x、yは0≦x≦p、0≦y≦pを満たす整数であるとする。このとき
を2pで割った余りと、
を2pで割った余りが等しければ、x=yであることを示せ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
を2pで割ったときの余りをrとすると、
が成り立ちます。
すると、(1)-(2)から
になり、このときpは素数なので、x-yまたはx+yがpの倍数になります。
一方、0≦x≦p、0≦y≦pから
-p≦x-y≦p
0≦x+y≦2p (4)
になので、
・ x-yがpの倍数の場合、x-p=-p,0,p
・ x+yがpの倍数の場合、x+p=0,p,2p
です。
[1]x-y=±pの場合
(3)から
x+y=±2(m-n)
で、これにx=y±pを代入すると、
2y±p=±2(m-n) (5)
になり、(5)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(5)は成り立ちません。
[2]x-y=0の場合
x=yで、これはm=nのとき(1)、(2)を満たします。
[3]x+y=0の場合
(4)からx=y=0で、m=n=r=0のとき(1)、(2)を満たします。
[4]x+y=pの場合
(3)から
x-y=2(m-n)
で、これにy=p-xを代入すると、
2x-p=2(m-n) (6)
になり、(6)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(6)は成り立ちません。
[5]x+y=2pの場合
(4)からx=y=pで、m=nのとき(1)、(2)を満たします。
以上から、与えられた条件が満たされる場合、x=yになります。
簡単な問題です。
今回は、平成15年度京大入試問題(前期、文系)です。
問題は、
「pは3以上の素数であり、x、yは0≦x≦p、0≦y≦pを満たす整数であるとする。このとき
を2pで割った余りと、
を2pで割った余りが等しければ、x=yであることを示せ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
を2pで割ったときの余りをrとすると、
が成り立ちます。
すると、(1)-(2)から
になり、このときpは素数なので、x-yまたはx+yがpの倍数になります。
一方、0≦x≦p、0≦y≦pから
-p≦x-y≦p
0≦x+y≦2p (4)
になので、
・ x-yがpの倍数の場合、x-p=-p,0,p
・ x+yがpの倍数の場合、x+p=0,p,2p
です。
[1]x-y=±pの場合
(3)から
x+y=±2(m-n)
で、これにx=y±pを代入すると、
2y±p=±2(m-n) (5)
になり、(5)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(5)は成り立ちません。
[2]x-y=0の場合
x=yで、これはm=nのとき(1)、(2)を満たします。
[3]x+y=0の場合
(4)からx=y=0で、m=n=r=0のとき(1)、(2)を満たします。
[4]x+y=pの場合
(3)から
x-y=2(m-n)
で、これにy=p-xを代入すると、
2x-p=2(m-n) (6)
になり、(6)の左辺は奇数、右辺は偶数なので、(6)は成り立ちません。
[5]x+y=2pの場合
(4)からx=y=pで、m=nのとき(1)、(2)を満たします。
以上から、与えられた条件が満たされる場合、x=yになります。
簡単な問題です。