東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

整数問題(12)[灘高]

2018-01-10 12:02:00 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2011年灘高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「次の[ ]内に適する数を記入せよ。

a、bは正の整数で、aは奇数、bは素数とする。xの2次方程式

が整数の解をもととき、
a=[ ]、b=[ ]である。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた2次方程式の解を α、β (α≧β)とすると、解と係数の関係から

が成り立ちます。(解の公式を使って簡単に導くことができます)

ここで、αとβはともに整数で、bは素数なので、(2)を満たすα、βの組合せ(α,β)は、

です。

そこで、これらの4つの組合せを(1)に代入しましょう。



です。

このとき、bが奇素数ならば、左辺は偶数になり、aが奇数であることから等式は成り立ちません。

一方、bが2ならば、a=±7になり、等式は成り立ちます。(aは正の整数なので、a=7です



から

です。

ここで、左辺は連続する2つの整数の積なので偶数になり、aが奇数であることから等式は成り立ちません。

以上から、問題の条件を満たすのは a=7、b=2 で、これが答えです。


bが素数というのがポイントです。

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