日本数学オリンピックの簡単な問題（１２３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日、一昨日と比べて気温が下がり、２０℃ちょっとの快適な暖かさになりました。空には雲が広がり、明日、明後日とぱっとしない空模様になりますが、日曜日は晴れになるようです。

さて、今回は２０１５年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「正の整数に対して、次の操作を行うことを考える：

　１の位の数字を取り去り、それを４倍したものを加える。

たとえば、１２３４に操作を行うと１２３＋１６＝１３９となり、７に操作を行うと２８となる。

から始めて操作を１００００回行った後に得られる数はいくつか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ここは漸化式を利用して、操作を式で表しましょう。


にｎ回の操作を行った後の数をＡn、その一の位の数をＢnとすると、
　　　　　（１）
です。

さらに（１）を
　 （２）
と変形します。

ここで、（２）の両辺を３９で割ったときの余りを調べると、
Ａn+1を３９で割ったときの余りと、４Ａnを３９で割ったときの余りが等しくなることが判ります。

つまり、

なので、Ａ10000を３９で割ったときの余りは、

を３９で割ったときの余りと等しくなります。

そこで、

を３９で割った余りを計算しましょう。


なので、

を３９で割った余りは、２２・２５＝５５０を３９で割った余りと等しくなり、５５０÷３９＝１４・・・４から、４になります。

あとは、Ａ10000≦３９であれば、Ａ10000＝４に決まります。

（１）から

で、これらの辺々を足し合わせると、

になり、Ａ10000≦３９です。

以上から、

から始めて操作を１００００回行った後に得られる数は ４ で、これが答えです。


筋道は判りやすい問題です。

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