こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１３年ＡＩＭＥの図形問題です。
問題は、
「１辺の長さが１２の正三角形の紙がある。
紙を折り、頂点Ｂからの長さが９になる辺ＢＣ上の点に頂点Ａが重なるようにする。ここで、折り目の長さが
で表せるとき、ｍ＋ｎ＋ｐの値を求めよ。ただし、ｍとｎは互いに素な正の整数、ｐは平方数で割り切れない正の整数とする。」
です。
図１に与えられた条件を書き入れました。ここで線分ＰＱを折り目とし、折ったときの頂点Ａの位置を点Ｄとします。
▲図１．与えられた条件を書き入れました
まず、図２のようにＰＢ＝２ｂとして、ｂを求めてしまいましょう。
▲図２．ＰＢ＝２ｂとしてｂを求めます
点Ｐから辺ＢＣに下した垂線の足をＳとすると、△ＰＢＳはその内角が３０°、６０°、９０°の三角形なので、
になり、すると、
ＤＳ＝ＤＢ－ＢＳ＝９－ｂ
です。
また、△ＡＰＱ≡△ＤＰＱなので、
ＰＤ＝ＰＡ＝１２－２ｂ
です。
ここで、△ＰＳＤに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに、
を代入して整理すると、
です。
続いて図３のように、ＱＣ＝２ｃとしｃを求めます。
▲図３．ＱＣ＝２ｃとしてｃを求めます
点Ｑから辺ＢＣに下した垂線の足をＴとすると、△ＱＣＴはその内角が３０°、６０°、９０°の三角形なので、
になり、すると、
ＤＴ＝ＣＴ－ＤＣ＝ｃ－３
です。
また、△ＡＰＱ≡△ＤＰＱなので、
ＱＤ＝ＱＡ＝１２－２ｃ
です。
ここで、△ＱＴＤに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに、
を代入して整理すると、
です。
次に図４のように、頂点Ａから辺ＢＣに下した垂線の足をＨとし、線分ＡＤの長さを求めます。
▲図４．線分ＡＤの長さを求めます
△ＡＢＣは１辺の長さ１２の正三角形なので、その高さは、
です。
また、
ＨＤ＝ＢＤ－ＢＨ＝９－６＝３
です。
ここで、△ＡＤＨに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに、
を代入して整理すると、
です。
このとき、直線ＡＤと直線ＰＱの交点をＲとすると、点Ｒは線分ＡＤの中点なので、
で、さらにＰＱ＝ｘとすると、ＡＤ⊥ＰＱから、
になります。
一方、
から、
で、これと（★）から、
です。
以上から、折り目の長さは、
になり、したがって、ｍ＝３９、ｎ＝３５、ｐ＝３９から、ｍ＋ｎ＋ｐ＝３９＋３５＋３９＝ １１３ で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０１３年ＡＩＭＥの図形問題です。
問題は、
「１辺の長さが１２の正三角形の紙がある。
紙を折り、頂点Ｂからの長さが９になる辺ＢＣ上の点に頂点Ａが重なるようにする。ここで、折り目の長さが
で表せるとき、ｍ＋ｎ＋ｐの値を求めよ。ただし、ｍとｎは互いに素な正の整数、ｐは平方数で割り切れない正の整数とする。」
です。
図１に与えられた条件を書き入れました。ここで線分ＰＱを折り目とし、折ったときの頂点Ａの位置を点Ｄとします。
▲図１．与えられた条件を書き入れました
まず、図２のようにＰＢ＝２ｂとして、ｂを求めてしまいましょう。
▲図２．ＰＢ＝２ｂとしてｂを求めます
点Ｐから辺ＢＣに下した垂線の足をＳとすると、△ＰＢＳはその内角が３０°、６０°、９０°の三角形なので、
になり、すると、
ＤＳ＝ＤＢ－ＢＳ＝９－ｂ
です。
また、△ＡＰＱ≡△ＤＰＱなので、
ＰＤ＝ＰＡ＝１２－２ｂ
です。
ここで、△ＰＳＤに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに、
を代入して整理すると、
です。
続いて図３のように、ＱＣ＝２ｃとしｃを求めます。
▲図３．ＱＣ＝２ｃとしてｃを求めます
点Ｑから辺ＢＣに下した垂線の足をＴとすると、△ＱＣＴはその内角が３０°、６０°、９０°の三角形なので、
になり、すると、
ＤＴ＝ＣＴ－ＤＣ＝ｃ－３
です。
また、△ＡＰＱ≡△ＤＰＱなので、
ＱＤ＝ＱＡ＝１２－２ｃ
です。
ここで、△ＱＴＤに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに、
を代入して整理すると、
です。
次に図４のように、頂点Ａから辺ＢＣに下した垂線の足をＨとし、線分ＡＤの長さを求めます。
▲図４．線分ＡＤの長さを求めます
△ＡＢＣは１辺の長さ１２の正三角形なので、その高さは、
です。
また、
ＨＤ＝ＢＤ－ＢＨ＝９－６＝３
です。
ここで、△ＡＤＨに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに、
を代入して整理すると、
です。
このとき、直線ＡＤと直線ＰＱの交点をＲとすると、点Ｒは線分ＡＤの中点なので、
で、さらにＰＱ＝ｘとすると、ＡＤ⊥ＰＱから、
になります。
一方、
から、
で、これと（★）から、
です。
以上から、折り目の長さは、
になり、したがって、ｍ＝３９、ｎ＝３５、ｐ＝３９から、ｍ＋ｎ＋ｐ＝３９＋３５＋３９＝ １１３ で、これが答えです。
簡単な問題です。