こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成３１年度東大入試問題（前期、理系）です。
問題は、
「ｎを１以上の整数とする。
（１）
の最大公約数ｄn を求めよ。
（２）
が整数の２乗にならないことを示せ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
なので、ユークリッドの互除法から、与えられた２つの式の最大公約数ｄn は、
の最大公約数になります。
ここで、ｎが偶数の場合と奇数の場合に分けて調べましょう。
● ｎが偶数の場合
ｎ＝２ｋ （ｋは１以上の整数）とすると、
で、このとき、
は整数なので、
は奇数になります。
一方、４の約数は １、２、４なので、
の最大公約数は１になります。
したがって、ｎが偶数のとき、ｄnは１です。
● ｎが奇数の場合
ｎ＝２ｋ＋１ （ｋは０以上の整数）とすると、
で、このとき
は奇数なので、
は２の倍数、かつ、４の倍数ではありません。
したがって、ｎが奇数のとき、ｄnは２です。
まとめると、
ｎが偶数のとき、ｄn＝１
ｎが奇数のとき、ｄn＝２
で、これが答えです。
続いて（２）です。
（１）を利用するため、ｎが偶数の場合と奇数の場合に分けて調べましょう。
● ｎが偶数の場合
の最大公約数は１なので、これらの２式の積が整数の２乗になるためには、いずれの式も整数も整数の２乗にならなくてはなりません。
ところが、
から
は整数の２乗ではありません。
したがって、
は整数の２乗ではありません。
● ｎが奇数の場合
（１）から
の最大公約数は２なので、
（ｍとｌは１以上の互いに素な整数）
とおくことができます。
ここで、〔２〕－〔１〕から
です。
このとき、
が奇数から
は奇数なので、左辺は２の倍数で４の倍数ではありません。
一方、ｌ－ｍとｌ＋ｍの偶奇は同じなので、右辺は奇数または４の倍数になり、〔３〕は成り立ちません。
したがって、
は整数の２乗ではありません。
以上から、
は整数の２乗にならないことを示すことができました。
簡単な問題です。
今回は、平成３１年度東大入試問題（前期、理系）です。
問題は、
「ｎを１以上の整数とする。
（１）
の最大公約数ｄn を求めよ。
（２）
が整数の２乗にならないことを示せ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
なので、ユークリッドの互除法から、与えられた２つの式の最大公約数ｄn は、
の最大公約数になります。
ここで、ｎが偶数の場合と奇数の場合に分けて調べましょう。
● ｎが偶数の場合
ｎ＝２ｋ （ｋは１以上の整数）とすると、
で、このとき、
は整数なので、
は奇数になります。
一方、４の約数は １、２、４なので、
の最大公約数は１になります。
したがって、ｎが偶数のとき、ｄnは１です。
● ｎが奇数の場合
ｎ＝２ｋ＋１ （ｋは０以上の整数）とすると、
で、このとき
は奇数なので、
は２の倍数、かつ、４の倍数ではありません。
したがって、ｎが奇数のとき、ｄnは２です。
まとめると、
ｎが偶数のとき、ｄn＝１
ｎが奇数のとき、ｄn＝２
で、これが答えです。
続いて（２）です。
（１）を利用するため、ｎが偶数の場合と奇数の場合に分けて調べましょう。
● ｎが偶数の場合
の最大公約数は１なので、これらの２式の積が整数の２乗になるためには、いずれの式も整数も整数の２乗にならなくてはなりません。
ところが、
から
は整数の２乗ではありません。
したがって、
は整数の２乗ではありません。
● ｎが奇数の場合
（１）から
の最大公約数は２なので、
（ｍとｌは１以上の互いに素な整数）
とおくことができます。
ここで、〔２〕－〔１〕から
です。
このとき、
が奇数から
は奇数なので、左辺は２の倍数で４の倍数ではありません。
一方、ｌ－ｍとｌ＋ｍの偶奇は同じなので、右辺は奇数または４の倍数になり、〔３〕は成り立ちません。
したがって、
は整数の２乗ではありません。
以上から、
は整数の２乗にならないことを示すことができました。
簡単な問題です。