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楕円の円周に関する考察

2017-05-19 15:17:30 | 論文サイトから
楕円の円周に関する考察
2017.05.17.
 
 

円周率に関する理解を深めるに当たり、楕円に関して考察してみました。

まず、楕円の円周を求めてみたいと思います。

真円の円周は、正多角形の外辺の総和によって、その近似値を求めます。
それと同じイメージで、楕円も「正」ではないものの、多角形により、その近似値を求めることを考えました。

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その際、真円に内接する正多角形がベースとなりますが、楕円の縦軸は真円と同じで、横軸の倍率のみが変化する場合を考えます。

まず、真円の半径は1。その時、正多角形(正360/θ角形)の1辺は、2sin(θ/2)で、これを A とします。また、1辺1辺の傾きの変化率は、θ°であり、これをθnと表記します。

また、楕円の横軸の半径が a の場合、多角形のある1辺の真円から楕円への変化は以下のように表現できます。

√{(Asinθn)^2 + (aAcosθn)^2}

これをまとめると、

A√{(a^2-1)cosθn^2 + 1}

となります。
_

そして、これを基にして楕円の0°~90°の間に分布するすべての多角形の外辺の総和を求めます。つまり、シグマ計算です。始めの数は1で、90/θ回まで繰り返します。

付記:図形から調べなおしたところ、最初の1辺目は θ/2 で、それ以降の辺は θ/2 + θn となっていました。それに従い、下記の公式を書き直します。(2017.05.18.)

90/θ - 1
 Σ  A√{1 - (1 - a^2)・cos(θ/2 + θn)^2}
n=0

さらに、これを4倍すると、楕円の円周が得られます。こうまとめることができるでしょう。

90/θ - 1
Σ  A√{1 - (1 - a^2)・cos(θ/2 + θn)^2}] × 4A
n=0
 

これが、縦1:横aの楕円の楕円周を求める公式ということになります。
ただし、(0 ≦ a ≦ 1)です。

もし、長半径が1以外の楕円でも、長半径bをかければ、その楕円の円周が求まります。その際、a は、短半径 / 長半径ということになります。

楕円の円周を求める公式

 

90/θ - 1
Σ  A√{1 - (1 - a^2)・cos(θ/2 + θn)^2}] × 4A × b
n=0

 

_


月の満ち欠けをイメージしてみてください。光と影との境界線は、いつでも月の北極と南極を通る真円となっています。ただ、地球から、それを様々な角度から斜めに眺めているに過ぎません。真円を斜めに眺めると、楕円になります。それが、この公式を考えるヒントとなりました。

この公式は、すべての楕円に適用することができます。
 
 
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