<数学> さくら教育研究所(SKREDU)

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数学・指導方針

2014-04-09 | 日記

■数学・指導方針

初めて見た問題をいかに解きほぐしていくか、その思考力の養成こそが数学を学問として学ぶ上での大命題といえる。

そしてそれは、人間が成長していく上での自然な知的営み―過去の経験を生かし、新たに直面した問題を試行錯誤を重ね克服していくこと―によって達成し得る。

我々がめざすもの、それは公式や解法パターンの暗記学習ではない。
いかなる問題をも自力で解き得る「真の数学力」の養成である。


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2014年・東京大学・数学・整数・合同式&鳩の巣原理

2014-04-01 | 日記

鳩の巣原理(はとのすげんり)またはディリクレの箱入れ原理(ディリクレのはこいれげんり)とは、n 個の物を m 個の箱に入れるとき、n > m であれば、少なくとも1個の箱には1個より多い物が中にある、という原理である。別の言い方をすれば、1つの箱に1つの物を入れるとき、m 個の箱には最大 m 個の物しか入れることができない(もう1つ物を入れたいなら、箱の1つを再利用しないといけないから)、ということである。

鳩の巣原理は数え上げ問題の例の一つで、一対一対応ができない無限集合など、多くの形式的問題に適用できる。

わかりやすい例をあげよう。野球をやりたい子どもが5人いるが、チームは4つしかなかったとする。ここで、5人の全員が、自分以外の4人の誰とも同じチームでプレーするのを拒否すると、問題が起こる。鳩の巣原理によれば、5人を4つのチームに割り当てようとすると、必ず誰か2人は同じチームになってしまう。お互い同じチームでプレーするのは嫌がっているのだから、結局、野球ができる最大の人数は4人になってしまう。

こうしてみると、鳩の巣原理は一見自明に思われるかもしれないが、突拍子もない結果を論証するのに使われることもある。たとえば「ロンドンには、同じ本数の髪の毛を持った少なくとも2人の人間が存在する」。証明してみよう。ふつう、髪の毛の本数は15万本ほどであるから、100万本以上の髪の毛を持っている人間はいないと考えることができる。ロンドンの人口は100万を超える。もし、髪の毛の本数ごとに鳩の巣を割り当て、巣にロンドンの人々を割り当てるなら、(当然の下限である0本から上限として置いた99万9999本までの巣に100万を超える人々を割り当てるのだから)少なくとも同じ髪の毛の本数を持った2人の人間が必ず存在する。


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