ブログ 「ごまめの歯軋り」

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和田純夫著 「プリンピキアを読むーニュートンはいかにして万有引力を証明したか」(講談社ブルーバックス2009年)

2016年10月18日 | 書評
近代科学の出発点となった運動の法則や万有引力を確立したニュートンの金字塔 第13回

3-1)  第Ⅰ編

セクション3 「ケプラーの法則の証明」

命題11:「楕円軌道からの逆二乗則の導出
 物体(惑星)の軌道が楕円であり、向心力の中心が楕円の焦点である場合、向心力は距離の二乗に反比例する。
(証明はかなり複雑で言葉だけで説明できるものではない。命題10の場合楕円の中心であったがいまは力の中心が焦点である。次の命題12では軌道が楕円ではなく、双曲線であり、向心力の中心がその焦点である場合にも、力は距離の二乗に反比例することを証明している。命題13では軌道が放物線の場合を示した。従って逆二乗則に従う力の下では、楕円、放物線、双曲線の2種が証明されている。これらの曲線は総称して円錐曲線と言われる。放物線や双曲線では距離が無限に離れてしまうので、本書では楕円の場合だけが取り上げられる)
命題13系1:「逆二乗則に従う力の下ででの軌道」
 任意の物体がある位置から任意の速度である方向に動き、中心となるある位置から距離の二乗に反比例する向心力を受けるなら、その物体の軌道はその点を焦点とする何らかの円錐曲線となる。
命題15:「ケプラーの第3法則の証明」
 ある点を共通の力の中心とする、距離の二乗に反比例する共通の向心力によって楕円運動をしている物体(惑星)がいくつかあったとする。各楕円運動の周期はその長半径の3/2乗に比例する。
(命題11よりL=(2・短半径^2/長半径)は、L∝焦点からの距離^2すなわちLは面積速度^2に比例する。ここまでを命題14で証明し、楕円の性質から、周期=楕円の面積/面積速度=(長半径×短半径)/√L∝長半径^3/2となる)
命題16:「楕円運動の速度を求める」
 物体が楕円軌道上のP点での速度を考えると、焦点SからPでの接線に降ろした足をYとすると、速度=√L/SY^2である。あるいはL∝速度^2・SY^2
(ニュートンの得意な微小部分の相似関係から速度=弧PQと命題15の結果より証明される)
命題17:「軌道の作図」
 距離の二乗に反比例する力が働いているとき、ある点Pからある方向にある速度で動いている物体のその後の軌道を求めよ。
(この物体の軌道が楕円であると仮定し、Pと焦点の一つSが与えられたとき、もう一つの焦点Hを求める音である。楕円の基本的性質よりPHの長さを求めればHが決定される。S,H,Pが与えられれば楕円が決定される。幾何学的関係よりPH=SP・L/(2SP+2PK-L)である)

(つづく)

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