ブログ 「ごまめの歯軋り」

読書子のための、政治・経済・社会・文化・科学・生命の議論の場

和田純夫著  「プリンピキアを読むーニュートンはいかにして万有引力を証明したか」 (講談社ブルーバックス2009年)

2016年10月09日 | 音楽
近代科学の出発点となった運動の法則や万有引力を確立したニュートンの金字塔 第4回

1)プリンピキアの誕生まで (その2)

ニュートンがプリンキピアを書いた時、どのような科学的知識を前提としていたのだろうか。天動説は地球を中心として太陽や惑星がその周りを円運動をするという、アリストテレス的ギリシャ時代の自然観に基づいていた。運動は「神聖な円運動」以外は考えられないのであった。実際は単純な円運動だけでは惑星の動きは説明できないので、円運動の複雑な組み合わせで補正をしていた。これに対してコペルニクスは1543年(ニュートンが生まれる約100年前)に惑星が太陽の周りをまわるという地動説を提示したが、軌道は円運動にこだわっていた。天体観測データと近似的な整合を得るためにはやはり円運動の組み合わせとして考えなければならないという、科学的には天動説とさして変わらなかった。コペルニクス的転回とは惑星が回るか太陽が回るかどちらを信じるかだけの問題で、科学的には変わるところはなかった。その後ティコ・ブラーエの精密な観測データを基にケプラーは惑星の軌道を計算し、1609年と1618年に公表した。ケプラーの主張は後年「ケプラーの三法則」と言う名前で呼ばれた。

「ケプラーの三法則」
①第一法則: 惑星の軌道は、太陽の一をひとつの焦点とする楕円である。
②第二法則: 惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に描く面積は一定である。(面積速度一定の法則)
③第三法則: 惑星の公転周期の二乗と、楕円軌道の長半径の三乗の比率は一定である。(公転周期は長半径の3/2乗に比例する)
楕円軌道とは短半径の内接円を一定方向に引きのばした図形で、長半径分だけ伸びている。こんな直感的な定義では何を言っているかわからないという人には、作図法として二つの焦点を結ぶたるんだ一定の長さ(長半径の二倍)のひもに鉛筆を立て、ぐるっと一周させて書いた図形であると言えばわかるだろうか。それでもわからない人には関数論的にx^2/a~2+y^2/b^2=1を満たす(x,y)の描く曲線と言えば、x<a,y<b一の範囲でxを代入すればyの値は計算できる。丁寧に計算してゆけば一応楕円曲線を描くことはできる。後で示すことになるがなぜ惑星軌道が楕円曲線になるかということは、二つの惑星間に距離の二乗に反比例する力が働くからである。長径、短径は二つの惑星の質量と重力加速度できまり、運動速度は天体発生の時の初期速度によって決定されるので誰にもわからない。面積速度一定則(第二法則)は、惑星が太陽の近くを通る時(掃引半径は小さく)速度は早くなり、惑星が太陽から離れる時(掃引半径は長く)速度が遅くなるので、半径×速度(面積速)は一定になるということを表している。第三法則は惑星間で(公転周期)^2/(長半径)^3を計算するとどの惑星でも同じになるということである。ちょっと面白い数学形式をしているが、あとで示すが万有引力の大きさが距離の二乗に反比例する結果からきている。地球は太陽の周りを高速で動いているのは何の力が働いているのかを考察したのが、デカルトやガリレオの「慣性」の発見であった。ガリレオは1632年の「天文対話」を表し、相対性原理を明らかにした。等速でまっすぐ動き続ける運動、すなわち等速直線運動を「慣性」と呼び、意識する人間も地球と同じ速度で運動しているのでこれを感知することはできないという。地球の運動軌道は実際は円運動に近いのだが、大きな円を描くので地球の動きの曲がり具合は非常に小さい。だから直線等速運動と見なしても間違いではない。力学の基本法則とされるニュートンの運動の三法則とは次の法則である。

「ニュートンの運動の三法則」
①運動の第一法則(慣性の法則): 物体にその運動を変える力が加わらないかぎり、静止あるいは一直線上の等速運動を続ける。
②運動の第二法則: 運動量(質量×速度)は、加えられた力に比例し、その力の方向を向く。
③運動の第三法則(作用・反作用の法則): 二つの物体間では、すべての作用(力)に対してそれと等しく反対向きの反作用が存在する。
運動の三法則のうち最も重要な観点は第二法則である。ガリレオは1604年頃落下の実験をした世界最初の人である。斜面をころがり落ちる球の距離は時間の二乗に比例することを発見した。従って垂直落下の時も同じことが主張できるとした(普遍化)。又速度は時間に比例して増加することも主張した。1638年「新科学論議」においてガリレオは落下運動と水平運動の動きを合成して、物体の軌道が放物線になることを証明した。これらのことは現代の力学の初歩に従えば、速度v=a・t、距離x=(1/2)a・t^2であり、微分積分関係より自明であるとされている。運動の起因である力についての考察としては、デカルトの渦動説(機械論)、ギルバートの「磁石説」がある。ギルバートは地球全体が一つの磁石であることを明らかにして、それが運動の起因であるとした。ケプラーも磁石説ではあったがこれを「遠隔作用」といって直接物体が触れ合わなくても働く力の存在を主張した。そういう意味では「遠隔作用」に基づく力学的な発想をしたのはケプラーが最初であった。ケプラーは力が惑星の運動に方向に働くという見方であったが、ニュートンは直線運動に太陽の作用による落下運動が合成された軌道となるという見方である。ケプラーは慣性の法則を知らなかった、しかし惑星は太陽から遠ざからず、絶えず太陽方向に軌道を修正しながら(引力を受けながら)公転する。ケプラーは万有引力を発見できなかったが、遠隔作用と太陽からの作用という発想をニュートンにもたらしたのである。

(つづく)
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

読書ノート 高木貞治著  「近世数学史談」 岩波文庫

2016年07月29日 | 音楽
18世紀末ー19世紀初めの近世数学興隆記 ガウス、コーシー、アーベル、ヤーコビらの軌跡  第2回

序(その2)

高瀬成仁著 「人物で語る数学入門」がその書の後半で語るガウスに始まる代数的数論は、本書高木貞治著 「近世数学史談」の外観を与えると思われるので概略を紹介する。
『数論にはフェルマーとガウスの2つの流れがあります。フェルマーは直角三角形の基本定理によって素数を2つの平方の和に分けられる条件を求めました。それはラグランジュに受け継がれ、「素数の形状」についての理論を展開しました。一方ガウスは、素数と素数の間に成り立つ相互関係という数論を展開しました。ガウス(1779-1855年)はドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼はリーマンやデデキントらを育て、近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。19世紀最大の数学者の一人である。ガウスは16歳から「数学日記」を書き始めたという。1799年(20歳)で「代数学の基本定理」で学位を取りました。1801年に「アリトメチカ(数の理論)研究」という著作を刊行しました。フェルマーは4で割ると1が余る素数は2つの平方の和に分けられるという「直角三角形の基本定理」を主張しました。ガウスの合同式を使うと、フェルマーの直角三角形の定理は、a≡1(mod.4) と書けます。すなわちa-1は4で割り切れるということです。一般にa≡b(mod.c)は「aとbはcを法として合同である」といいます。法cを共通とする2つの合同式についても、加減乗除の演算規則が成立します。さらにガウスは17歳で「平方剰余相互法則の第1補充定理」でx^2≡±1(mod.p)によって、直角三角形の基本定理が成り立つことを裏付けました。次いで「平方剰余相互法則の第2補充定理」x^2≡2(mod.p)?証明して、あわせて「平方剰余の理論における基本定理」と呼びました。平方剰余とは、pを奇の素数、合同式x^2≡a(mod.p)が解けるとき、この合同式を満たす整数xが存在する場合は、aは「pの平方剰余」と呼びます。pとqを法とする2つの2次合同式 ① x^2≡p(mod.q)  ② x^2≡q(mod.p)が同時に解けたり解けなかったりする特定の「相互依存関係」に関心を寄せました。ガウスが見つけた相互関係は具体的には、①pとqのうちどちらかが4を法として1と合同なら、合同式は同時に解けるか、解けないかのいずれか、②pとqがどちらも4をhぷとして3と合同なら、合同式①と②はどちらか一方は解けるが、もう一方は解けない、というものでした。これらの相互関係をルジャンドルは記号を使って、(a/p)=+1(解ける)、(a/p)=-1(解けない)とすると、、解けるケースと解けないケースの繰り返し演算規則が成立し、平方剰余の相互規則、第1補充定理、第2補充定理の関係式を表現しました。ラグランジェ(1736-1813年)は「変分法の領域に属する等時曲線」の問題を研究していましたが、ホイエンスが等時曲線はサイクロイドであることを示しました。ルジャンドル(1752-1833年)は「不定問題を整数を用いて解くあたらしい方法」1770年で、フェルマーの課題「ay^2+1=x^2(aは正の数)をみたすxとyを求めよ」という問題を、オイラーの連分数の手法により必ず解を持つことを示しました。こうした不定問題を解くことが「数の理論」(数論)と見なされていました。直角三角形の基本定理は「4n+1という線形的形状を持つ素数は、つねにx^2+y^2という平方的形状を持つ」と言い換えることができます。ガウスは不定問題の2次形式A=Bt^2+Ctu+Du^2が整数解を持つのは若干の特別な場合のみであると考えていました。ラグランジェは完全な決定を行いました。奇数の素数は(2を除いて素数は全部奇数である)「4n+1型」と「4n+3型」に区分けされます。ラグランジェは「4n+3型」の素数について一般理論を構築しました。ルジャンドルは解ける解けないケース別けにつてルジャンドルの記号を導入して相互法則を提案しましたが、4n+1型についてルジャンドルは証明に成功しませんでした。ルジャンドルの「相互法則」とガウスの「平方剰余」が組み合わされて今日の数論の「平方剰余の相互法則」が出来上がったのです。ガウスはさらに3次以上の剰余の理論 x^n≡a(mod.b)の研究を開始したのは1807年以降のことです。1813年ガウスは4時の冪剰余相互法則を発見したといわれています。しかし論文となるにはさらに15年かかりましたが(1828年)、証明はついていません。4次の冪剰余相互法則は、整数域では見つからず複素数に及びました。ガウスはこれを「ガウス整数」と呼びました。ガウスは虚数という呼び名がそもそもパラドキシカルであって、正の量を順量、負の量を逆量、虚の量を測量と呼ぼうと提案しました。その後、代数的整数論という理論が生まれ、ヤコビ、ディリクレ、クロネッカー、クンマー、ウエーバー、ヒルベルト、と続き、ヒルベルトのところに留学した高木貞治は「類体論」を生みました。

(つづく)
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

12月の花 

2012年12月20日 | 音楽
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

10月9日の花

2012年10月09日 | 音楽
コメント
この記事をはてなブックマークに追加

CD 今日の一枚 「ボサノヴァ 大全集」

2012年09月29日 | 音楽
「ボサノヴァ 大全集」(CD2枚組)
演奏:セルジオ・メンデスほか17楽団
ADD 1999 ユニヴァーサルミュージック

CD1:①イパネマの娘、②黒いオルフェ....⑫3月の雨
CD2:①カーニバルの朝、②ワンノーサンバ.....⑫ルガール・コムン
合計24曲
コメント
この記事をはてなブックマークに追加