受験に関するさまざまなホンネ、日常の雑感など
お茶の水 酒井塾LR室長BLOG
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化学 TIPS(1)
試で差がつきそうなところを中心に、「ワンポイント・アドバイス」的な内容を挙げていこうと思います。パソコンや携帯をいじっているヒマがあったら勉強した方がいいに決まっていますが、「たまたま」このブログを見ちゃった人に、少しでも有益なコメントをしていきたいと思います。気になるところは、身近にいる先生などに詳しい内容を聞いてください。
(TIP1)
まずは、2008年の藤田の化学の第6問から。
「アルファアミノ酸A 1.00gに含まれる炭素は0.361g、水素は0.053g、
窒素は0.105g、残りは酸素であり、分子量は133であった。」
さて、この行(くだり)を読んでみんなはどうする？ もしかすると、
(361/12):(53/1):(105/14):(481/16)
から実験式を作り、(実験式)のn倍＝(分子式)からnを求め・・・ ですか？
ヤバイ。ヤバ過ぎる。最近は、おいしいものを食べても「ヤバっ」て言う人もいるみたいですが・・・ ところで、アルファアミノ酸って、何？
(TIP2)
グリシンごときでは甘い。例えば、リシン(等電点9.7)において、中性および等電点におけるイオンの状態を構造式で書けるか。そもそも、リシンの構造式、大丈夫？(書けない人が多そうだ！)この手の話は、思いっきり酸性にした状態から徐々にpHをあげていく手順をとるとわかりやすい。そのとき、リシン(2+)が水素イオンを放出する順番が決まっている。それが等電点での状態を描くときに関わってくる。でも、中性下での状態を書くのは簡単だ。言っている意味、わかりますか？？？ 心配だ・・・
(TIP3)
44.0kgのポリビニルアルコール(PVA)から45.5kgのビニロンが生成した。このPVAの全水酸基のうち何%がアセタール化されたか。「こんな問題、ただの「べた問」だ。できてあたりまえだろ」と私は思うのですが、ほとんどの人はそうではないでしょう。だいたい、この数字、「暗算で出せ」と言っているようなものです。もちろん、この難易度の問題が出題されて、仮にこの1問ができなかったとしても、即不合格になるというものでもないでしょう。しかし、みんなのできるところだけできるようにしておいても合格できないのも真理だと思います。このビニロンの問題、1回くらいは見たことがあるでしょう。説明を聞いたり解説を読んだこともあるでしょう。でも、どうして、今、解けないのでしょうか。あなたがもし、多浪のスパイラルに陥っているとすれば、原因の一つがここにあるのだと思います。つまり、「ツメが甘い」ということ。ダラダラと書かれた参考書の解説を読んでも、次回につなげるように「エキス」を抽出しておかなければ、毎回同じ轍(てつ)を踏んでしまうのです。この問題には公式があって、覚えておけばすぐに終わります。しかし、その公式、そこらへんの本に書いていない。自分で作って次に備えるしかないのです。
(TIP4)
「一定量の二酸化窒素を注射器に入れ、平衡に到達させた後、注射器のピストンを押して気体を圧縮させた。このとき、注射器内の気体の色が薄くなる」この文章を読んで、「何か変だ」と思わない人は、ちょっと変です。「勉強方法が間違ってるんじゃないのー」と私は言いたくなります。さらには、注射器を軸方向から見たときの色の変化についても、どうなるかわかりますか？
(TIP5)
次の文章を読んでみてください。ただし、原子量は、銅64、ニッケル59、銀108とします。
「陰極に純銅、陽極に粗銅を用いて、銅の電解精錬をおこなった。電解槽は硫酸銅水溶液である。また、粗銅中には、不純物としてニッケルと銀が含まれているものとする。このとき、陰極に銅が10個析出したとしよう。ということは、20個の電子が陽極から陰極へ流れたことになる。この20個の電子は、誰が放出したのか。もちろん、陽極につながれた粗銅中の銅とニッケルである。今回、7個の銅と3個のニッケルが溶けて20個の電子を放出したとする。ニッケルは銅よりもイオン化傾向が高いため、少量含まれていても、銅と一緒にイオン化してしまうのである。ところで、銀はどうなったのかというと、イオン化傾向が銅よりも低いため電子を放出できず、銅とニッケルが溶けたときに支えてもらえなくなって、電解槽の底に落下する。いわゆる「陽極泥」である。落下した銀を2個とする。」
さて、収支決算しましょう。
・陰極は64が10個で640g増加。
・陽極は64が7個、59が3個、108が2個で841g減少。
・陽極泥は108が2個で216g
ここで問題です。
「上記のような銅の電解精錬で、陰極がx[g]増加、陽極がy[g]減少、陽極泥がz[g]のとき、電解槽中に溶けたニッケルの物質量をx,y,zで表せ。」
(TIP6)
私：「トレハロースの構造式、書ける？」
生徒X：「何ですか、それ？」
私：「ヤベえー！！！」
(TIP7)
私：「M'=M+28って、知ってる？」
生徒X：「いやー、・・・」
私：「やっぱな。」
(TIP8)
私：「じゃあ、エチレン法は？」
生徒X：「・・・」
私：「ちょ・・・」
(TIP9)
私：「コバルトの3+は、塩化物イオンとアンモニア分子のどちらを好むか知ってる？」
生徒X：「塩化物イオンでしょ。だって、プラスとマイナスは引き合うし・・・」
私：「そういう考え方もあるのか・・・」(こりゃ、困った！)
(TIP10)
生徒X：「先生、ギ酸はフェーリング反応しないんですよね！」
私：「そんなことはどうでもいいから、アミノ酸の分子量、早く覚えろ！！！」
(TIP11)
「(A)や(B)は(C)に基づいて証明され、また、(D)は(C)に基づいて予測されたものである。しかし、(E)は(C)によっては説明がつかず、(F)の登場を待たなければならなかった。」(A)から(F)に当てはまる化学法則名を入れてください。ただし、(A)は(B)よりも古いものとします。
(TIP12)
「あるデンブンのすべての水酸基をメチル化した後、完全に加水分解した。このとき、3種類の加水分解生成物が生じた。それらを化合物A,B,Cとする。分子量はA＜B＜Cとせよ。A,B,Cそれぞれの分子量を答えよ。」何度やっても同じ結果しかでない。試験時間中にやるのではなく、時間のある今のうちに計算して、結果を覚えておくべきだ。これを試験対策という。
(TIP13)
「ある濃度のリン酸水溶液をある濃度の水酸化ナトリウム水溶液で中和滴定した。水酸化ナトリウムの滴下量がをちょうどは36mlのときに3回目のpH-jumpが観測された。水酸化ナトリウムの滴下量が16mlのときのpHを求めよ。ただし、K1＝10のマイナス2乗、K2＝10のマイナス8乗、K3＝10のマイナス13乗とせよ。(ログ10の2は0.3で・・・)」酢酸がらみの緩衝溶液ごときで満足していてはダメだ。もとネタは、2006年の獨協。
(TIP14)
少量のフェノールフタレインとヘキサシアノ鉄(III)酸カリウムを溶かしてある食塩水を少量とり、よく磨いた鉄板の上にのせる。これを真上から見ると(1)中心部、(2)周辺部、(3)それらの境界部分において、この順に化学変化が起こる。それらについてくわしく理解しているか。わからない人は、卜部先生の「新研究」で調べておこう。この時期「こんなもの」も理解できていないようでは、結果は推して知るべし。でも、諦めるな！時間はまだある。
(TIP15)
簡単な算数の問題を解いてみよう。「ヘキサメチレンジアミンをH、アジピン酸をAで表すことにする。Hを500個、Aを510個混合して6,6-ナイロンを合成したとき、生成するポリマーの平均重合度はいくらか。」ヒント：出来上がるポリマーは、HAHAHA・・・HAでよいのでしょうか。少なくとも、HHHHAAHAAAAAAAHAHのように、Hどうし連続とか、Aどうし連続することはありませんよ！さらには、ポリマーの重合度を大きくするためには、いったいどうすればよいのでしょうか？
(TIP16)
マッチで火がつくしくみが出題されたら、焦るでしょう。でも、前もって学習しておけば何もこわくありません！マッチの軸の先っぽの丸い小さな玉を頭薬、箱の側面のざらざらした部分を側薬と言います。以下のミニ問題、わからなければ即ウラベ！{ }内はどちらかを選んでください。(A)から(E)には物質名。
「頭薬を側薬に擦りつけると、{頭薬、側薬}に含まれる(A)が(B)となり、自然発火する。それにより、{頭薬、側薬}に含まれる(C)が燃える。そのとき、{頭薬、側薬}中で(D)が(E)を触媒として(F)を発生し、(C)が燃えるのを助ける。」
この文章中には、ある重要気体の実験室製法が含まれていますよ。わかりますか？
(TIP17)
「銀イオンを0.03モル含む水溶液500mlと塩化物イオンを0.02モル含む水溶液500mlを混ぜ合わせる。すると、出来上がった水溶液1リットル中で銀イオンと塩化物イオンが出会うことになる。さて、沈殿する塩化銀は何モルか？また、そのときの水溶液中の塩化物イオンのモル濃度はいくらか？ただし、塩化銀の溶解度積は10のマイナス10乗とせよ。」この問題は、十分に難問でしょう。しかし、よく勉強している人なら、沈殿する塩化銀をxモルとして、(0.03-x)(0.02-x)＝10のマイナス10乗、と式を立てることができるのではないですか？大切なのは、このあと！いったい、この2次方程式、どうやって計算するの？解の公式？うーん、ちょっと、ちがうんじゃないですか？この問題、暗算で答えが出せないのなら、結局は理解できていないのだと思います。ヒントを差し上げましょう。xy＝1、xy＝0.1、xy＝0.01、xy＝0.001、・・・・・ これらの双曲線のグラフ、どのように変化していきますか？今回はxy＝10のマイナス10乗ですよ！どんな感じのグラフになるのでしょうか？さらに、同じ座標平面上に点(0.03,0.02)をとってみてください。関係ないですが、ついでに言うと、y＝x^100のグラフのようすを想像したことはありますか？
(TIP18)
引き続き溶解度積の問題を考えてみよう。有効数字は2桁で。
「(TIP17)の銀イオンと塩化物イオンをそれぞれ0.03モルとしたとき、沈殿する塩化銀は何モルか？また、そのときの水溶液中の塩化物イオンのモル濃度はいくらか？」
あるいは、
「(TIP17)の銀イオンと塩化物イオンをそれぞれ0.00003モルとしたとき、沈殿する塩化銀は何モルか？また、そのときの水溶液中の塩化物イオンのモル濃度はいくらか？」
これら2問は、やり方が異なりますがわかりますか？(同じであるとも言えなくはないが。)その境目はどこでしょうか？濃度が極めて薄い塩酸のpH計算(2次方程式が出て来るやつ！)は詳しく(?)習うのに、この種の溶解度積の問題は、うやむや・・・ そんなんじゃあダメでしょ！！！
(TIP19)
「1日20ページずつ読むと30日で読み終わる本を、1日15ページずつ読むと何日で読み終えることができるでしょうか？」
ならすぐにわかるのに、
「ある有機物を完全に酸化するのに8モルの過マンガン酸カリウムを要した。これを酸素でおこなうと何モル必要か？」
でなぜもたもたするのか、理解に苦しむわけですが、結局、化学の計算問題というのは、万事こういうことなのです。
一匹の過マンガン酸カリウムは電子を5個食べる。一匹の酸素分子は電子を4個食べる。40割る4で10モルです。酸素だと10モルになります。酸素10モルは320グラム、つまり、3.2かける10の5乗ミリグラムです。この有機物が試料水1リットル中に入っていたとしたなら、この酸素のミリグラム数をCODと言います。(実際のCODの値はもっと小さい。)
(TIP20)
162+42xとか162+45xとか44+6kとか。
(TIP21)
ケイ素！ケイ素！ケイ素！二酸化ケイ素！ケイ素をやらずに合格しようなんて、虫がよすぎる。それとも、出題されないことを願うか！甘い。その考えがすでに敗北を意味する。
水ガラスやシリカゲルで終わってはダメだ。雲母(mica)までしっかりやっておけ！図が与えられなくても、雲母の基本単位の組成式ぐらい覚えておけ。ついでに言うと、クラーク数は、O>Si>Al>Feだ！
(TIP22)
「ヘキサメチレンジアミンと炭酸水素ナトリウムを水に溶かしてできた水溶液をビーカーに入れ、その上に、セバシン酸ジクロリドを溶かしたヘキサンを静かに注ぎ込む。」
・これは何をするための実験か？(合成される高分子は何？)
・炭酸水素ナトリウムの役割は？
・セバシン酸の代わりにセバシン酸ジクロリドを使うのはなぜ？
ところで、セバシン酸、習った？ あと、高分子合成の化学反応式は、普段からきちんと記述する練習しなきゃだめだよ！
(TIP1)
まずは、2008年の藤田の化学の第6問から。
「アルファアミノ酸A 1.00gに含まれる炭素は0.361g、水素は0.053g、
窒素は0.105g、残りは酸素であり、分子量は133であった。」
さて、この行(くだり)を読んでみんなはどうする？ もしかすると、
(361/12):(53/1):(105/14):(481/16)
から実験式を作り、(実験式)のn倍＝(分子式)からnを求め・・・ ですか？
ヤバイ。ヤバ過ぎる。最近は、おいしいものを食べても「ヤバっ」て言う人もいるみたいですが・・・ ところで、アルファアミノ酸って、何？
(TIP2)
グリシンごときでは甘い。例えば、リシン(等電点9.7)において、中性および等電点におけるイオンの状態を構造式で書けるか。そもそも、リシンの構造式、大丈夫？(書けない人が多そうだ！)この手の話は、思いっきり酸性にした状態から徐々にpHをあげていく手順をとるとわかりやすい。そのとき、リシン(2+)が水素イオンを放出する順番が決まっている。それが等電点での状態を描くときに関わってくる。でも、中性下での状態を書くのは簡単だ。言っている意味、わかりますか？？？ 心配だ・・・
(TIP3)
44.0kgのポリビニルアルコール(PVA)から45.5kgのビニロンが生成した。このPVAの全水酸基のうち何%がアセタール化されたか。「こんな問題、ただの「べた問」だ。できてあたりまえだろ」と私は思うのですが、ほとんどの人はそうではないでしょう。だいたい、この数字、「暗算で出せ」と言っているようなものです。もちろん、この難易度の問題が出題されて、仮にこの1問ができなかったとしても、即不合格になるというものでもないでしょう。しかし、みんなのできるところだけできるようにしておいても合格できないのも真理だと思います。このビニロンの問題、1回くらいは見たことがあるでしょう。説明を聞いたり解説を読んだこともあるでしょう。でも、どうして、今、解けないのでしょうか。あなたがもし、多浪のスパイラルに陥っているとすれば、原因の一つがここにあるのだと思います。つまり、「ツメが甘い」ということ。ダラダラと書かれた参考書の解説を読んでも、次回につなげるように「エキス」を抽出しておかなければ、毎回同じ轍(てつ)を踏んでしまうのです。この問題には公式があって、覚えておけばすぐに終わります。しかし、その公式、そこらへんの本に書いていない。自分で作って次に備えるしかないのです。
(TIP4)
「一定量の二酸化窒素を注射器に入れ、平衡に到達させた後、注射器のピストンを押して気体を圧縮させた。このとき、注射器内の気体の色が薄くなる」この文章を読んで、「何か変だ」と思わない人は、ちょっと変です。「勉強方法が間違ってるんじゃないのー」と私は言いたくなります。さらには、注射器を軸方向から見たときの色の変化についても、どうなるかわかりますか？
(TIP5)
次の文章を読んでみてください。ただし、原子量は、銅64、ニッケル59、銀108とします。
「陰極に純銅、陽極に粗銅を用いて、銅の電解精錬をおこなった。電解槽は硫酸銅水溶液である。また、粗銅中には、不純物としてニッケルと銀が含まれているものとする。このとき、陰極に銅が10個析出したとしよう。ということは、20個の電子が陽極から陰極へ流れたことになる。この20個の電子は、誰が放出したのか。もちろん、陽極につながれた粗銅中の銅とニッケルである。今回、7個の銅と3個のニッケルが溶けて20個の電子を放出したとする。ニッケルは銅よりもイオン化傾向が高いため、少量含まれていても、銅と一緒にイオン化してしまうのである。ところで、銀はどうなったのかというと、イオン化傾向が銅よりも低いため電子を放出できず、銅とニッケルが溶けたときに支えてもらえなくなって、電解槽の底に落下する。いわゆる「陽極泥」である。落下した銀を2個とする。」
さて、収支決算しましょう。
・陰極は64が10個で640g増加。
・陽極は64が7個、59が3個、108が2個で841g減少。
・陽極泥は108が2個で216g
ここで問題です。
「上記のような銅の電解精錬で、陰極がx[g]増加、陽極がy[g]減少、陽極泥がz[g]のとき、電解槽中に溶けたニッケルの物質量をx,y,zで表せ。」
(TIP6)
私：「トレハロースの構造式、書ける？」
生徒X：「何ですか、それ？」
私：「ヤベえー！！！」
(TIP7)
私：「M'=M+28って、知ってる？」
生徒X：「いやー、・・・」
私：「やっぱな。」
(TIP8)
私：「じゃあ、エチレン法は？」
生徒X：「・・・」
私：「ちょ・・・」
(TIP9)
私：「コバルトの3+は、塩化物イオンとアンモニア分子のどちらを好むか知ってる？」
生徒X：「塩化物イオンでしょ。だって、プラスとマイナスは引き合うし・・・」
私：「そういう考え方もあるのか・・・」(こりゃ、困った！)
(TIP10)
生徒X：「先生、ギ酸はフェーリング反応しないんですよね！」
私：「そんなことはどうでもいいから、アミノ酸の分子量、早く覚えろ！！！」
(TIP11)
「(A)や(B)は(C)に基づいて証明され、また、(D)は(C)に基づいて予測されたものである。しかし、(E)は(C)によっては説明がつかず、(F)の登場を待たなければならなかった。」(A)から(F)に当てはまる化学法則名を入れてください。ただし、(A)は(B)よりも古いものとします。
(TIP12)
「あるデンブンのすべての水酸基をメチル化した後、完全に加水分解した。このとき、3種類の加水分解生成物が生じた。それらを化合物A,B,Cとする。分子量はA＜B＜Cとせよ。A,B,Cそれぞれの分子量を答えよ。」何度やっても同じ結果しかでない。試験時間中にやるのではなく、時間のある今のうちに計算して、結果を覚えておくべきだ。これを試験対策という。
(TIP13)
「ある濃度のリン酸水溶液をある濃度の水酸化ナトリウム水溶液で中和滴定した。水酸化ナトリウムの滴下量がをちょうどは36mlのときに3回目のpH-jumpが観測された。水酸化ナトリウムの滴下量が16mlのときのpHを求めよ。ただし、K1＝10のマイナス2乗、K2＝10のマイナス8乗、K3＝10のマイナス13乗とせよ。(ログ10の2は0.3で・・・)」酢酸がらみの緩衝溶液ごときで満足していてはダメだ。もとネタは、2006年の獨協。
(TIP14)
少量のフェノールフタレインとヘキサシアノ鉄(III)酸カリウムを溶かしてある食塩水を少量とり、よく磨いた鉄板の上にのせる。これを真上から見ると(1)中心部、(2)周辺部、(3)それらの境界部分において、この順に化学変化が起こる。それらについてくわしく理解しているか。わからない人は、卜部先生の「新研究」で調べておこう。この時期「こんなもの」も理解できていないようでは、結果は推して知るべし。でも、諦めるな！時間はまだある。
(TIP15)
簡単な算数の問題を解いてみよう。「ヘキサメチレンジアミンをH、アジピン酸をAで表すことにする。Hを500個、Aを510個混合して6,6-ナイロンを合成したとき、生成するポリマーの平均重合度はいくらか。」ヒント：出来上がるポリマーは、HAHAHA・・・HAでよいのでしょうか。少なくとも、HHHHAAHAAAAAAAHAHのように、Hどうし連続とか、Aどうし連続することはありませんよ！さらには、ポリマーの重合度を大きくするためには、いったいどうすればよいのでしょうか？
(TIP16)
マッチで火がつくしくみが出題されたら、焦るでしょう。でも、前もって学習しておけば何もこわくありません！マッチの軸の先っぽの丸い小さな玉を頭薬、箱の側面のざらざらした部分を側薬と言います。以下のミニ問題、わからなければ即ウラベ！{ }内はどちらかを選んでください。(A)から(E)には物質名。
「頭薬を側薬に擦りつけると、{頭薬、側薬}に含まれる(A)が(B)となり、自然発火する。それにより、{頭薬、側薬}に含まれる(C)が燃える。そのとき、{頭薬、側薬}中で(D)が(E)を触媒として(F)を発生し、(C)が燃えるのを助ける。」
この文章中には、ある重要気体の実験室製法が含まれていますよ。わかりますか？
(TIP17)
「銀イオンを0.03モル含む水溶液500mlと塩化物イオンを0.02モル含む水溶液500mlを混ぜ合わせる。すると、出来上がった水溶液1リットル中で銀イオンと塩化物イオンが出会うことになる。さて、沈殿する塩化銀は何モルか？また、そのときの水溶液中の塩化物イオンのモル濃度はいくらか？ただし、塩化銀の溶解度積は10のマイナス10乗とせよ。」この問題は、十分に難問でしょう。しかし、よく勉強している人なら、沈殿する塩化銀をxモルとして、(0.03-x)(0.02-x)＝10のマイナス10乗、と式を立てることができるのではないですか？大切なのは、このあと！いったい、この2次方程式、どうやって計算するの？解の公式？うーん、ちょっと、ちがうんじゃないですか？この問題、暗算で答えが出せないのなら、結局は理解できていないのだと思います。ヒントを差し上げましょう。xy＝1、xy＝0.1、xy＝0.01、xy＝0.001、・・・・・ これらの双曲線のグラフ、どのように変化していきますか？今回はxy＝10のマイナス10乗ですよ！どんな感じのグラフになるのでしょうか？さらに、同じ座標平面上に点(0.03,0.02)をとってみてください。関係ないですが、ついでに言うと、y＝x^100のグラフのようすを想像したことはありますか？
(TIP18)
引き続き溶解度積の問題を考えてみよう。有効数字は2桁で。
「(TIP17)の銀イオンと塩化物イオンをそれぞれ0.03モルとしたとき、沈殿する塩化銀は何モルか？また、そのときの水溶液中の塩化物イオンのモル濃度はいくらか？」
あるいは、
「(TIP17)の銀イオンと塩化物イオンをそれぞれ0.00003モルとしたとき、沈殿する塩化銀は何モルか？また、そのときの水溶液中の塩化物イオンのモル濃度はいくらか？」
これら2問は、やり方が異なりますがわかりますか？(同じであるとも言えなくはないが。)その境目はどこでしょうか？濃度が極めて薄い塩酸のpH計算(2次方程式が出て来るやつ！)は詳しく(?)習うのに、この種の溶解度積の問題は、うやむや・・・ そんなんじゃあダメでしょ！！！
(TIP19)
「1日20ページずつ読むと30日で読み終わる本を、1日15ページずつ読むと何日で読み終えることができるでしょうか？」
ならすぐにわかるのに、
「ある有機物を完全に酸化するのに8モルの過マンガン酸カリウムを要した。これを酸素でおこなうと何モル必要か？」
でなぜもたもたするのか、理解に苦しむわけですが、結局、化学の計算問題というのは、万事こういうことなのです。
一匹の過マンガン酸カリウムは電子を5個食べる。一匹の酸素分子は電子を4個食べる。40割る4で10モルです。酸素だと10モルになります。酸素10モルは320グラム、つまり、3.2かける10の5乗ミリグラムです。この有機物が試料水1リットル中に入っていたとしたなら、この酸素のミリグラム数をCODと言います。(実際のCODの値はもっと小さい。)
(TIP20)
162+42xとか162+45xとか44+6kとか。
(TIP21)
ケイ素！ケイ素！ケイ素！二酸化ケイ素！ケイ素をやらずに合格しようなんて、虫がよすぎる。それとも、出題されないことを願うか！甘い。その考えがすでに敗北を意味する。
水ガラスやシリカゲルで終わってはダメだ。雲母(mica)までしっかりやっておけ！図が与えられなくても、雲母の基本単位の組成式ぐらい覚えておけ。ついでに言うと、クラーク数は、O>Si>Al>Feだ！
(TIP22)
「ヘキサメチレンジアミンと炭酸水素ナトリウムを水に溶かしてできた水溶液をビーカーに入れ、その上に、セバシン酸ジクロリドを溶かしたヘキサンを静かに注ぎ込む。」
・これは何をするための実験か？(合成される高分子は何？)
・炭酸水素ナトリウムの役割は？
・セバシン酸の代わりにセバシン酸ジクロリドを使うのはなぜ？
ところで、セバシン酸、習った？ あと、高分子合成の化学反応式は、普段からきちんと記述する練習しなきゃだめだよ！
数学道具箱(3)
(TOOL17)
x^3-3x-1＝0,x^3-6x+6＝0,2x^3-6x-5＝0 さあ、このうちのどれか1つでも解けるか。このあたりの問題になると、できない教師たちが出て来るであろう。しかし、そういった教師たちも、誘導付きなら解けるはずだ。日常の業務はそれで差し支えない。だが、数学の得意な生徒と同レベルである。一方、受験生にとっては、このような3次方程式がいきなり出題されたら、クイズ以外の何物でもない。よって、できなくても心配しなくてもよいが、誘導がある場合には、先程の教師たちと同様、解けなければならない。慈恵や日医あたりを狙うのであれば、こういった内容は一通り潰しておくべきなのだろうが(過去問を見よ！)、その他多くの賢明な受験生は、自分にとって何が必要なのかをよく考えた上で、「とりあえず」スルーしてくれ。
(TOOL18)
3点A(t,t^2),B(s,s^2),C(p,0)がある。三角形ABCが角Aを直角とする直角二等辺三角形となるとき、sとpのそれぞれをtを用いて表せ。ただし、0＜t＜sとする。再び、帝京の過去問からの問題である。私が警戒している問題の一種だ。受験生の諸君は一度解いてみて欲しい。うまく答えを出せるだろうか。普通に思いつくまま、つまり、AB＝AC,ABとACが垂直と進めるなら、収拾がつかなくなるのではないだろうか。それでも、数学が得意で計算力のある奴らは、難なく切り抜けるかもしれない。ショートカットは、合同な直角三角形を見つけること。(考えてください！)ウラ技でも何でもない。(TOOL7)で挙げた東邦も似た内容だ。xy座標平面上で、傾きが有理数の直線と45度の角をなす直線の傾きを求めるときも然り。これら3つは、内容は異なるが、正方形を描けば「ただちに」終わるという点で、私にとっては同じだ。授業でも繰り返しやっている。赤本の解答は、「案の定(True to form)」、AB＝ACなどとやっていた。多分、この執筆者、「本当はもっといい方法があるんだけど隠しておこう」と思ったのであろう。
(TOOL19)
1,2,3,・・・,nのn個の数を左から並べる。ただし、k番目にｋという数を置いてはいけない。(k＝1,2,3,・・・,n)このような並べ方は何通りか。この場合の数をa(n)で表すことにする。いわゆる、「完全順列」である。「撹乱(かくらん)順列」とも言う。受験生諸君は、聞いたことがあるだろうか。「俺には関係ねー」と思う人もいるだろう。数学オタクの諸君にとっては初歩の初歩、つまり、「べた問」である。「べた問」と言えども、かなり難解だ。やらなくても入試で出会わずに合格してしまえばそれまでだ。解法は、少々わかりにくい漸化式を立てるか、包除の原理を使うか。(説明は省略！)私は授業ではやっていない。じゃあ、「スルーでいいのか」と聞かれれば、答えは「NO!」である。つまり、nのままやる必要はないが、a(1),a(2),a(3),a(4),a(5)ぐらいは、一度樹形図を描いて求めておくべきだ。(そんなにむずかしくありません。)ちなみに、a(1)＝0,a(2)＝1,a(3)＝2,a(4)＝9,a(5)＝44である。(本当にやってみてください。わからなければ誰かに聞いて！)北里の2006年の第1問の中の小問に今日の内容が登場する。樹形図を描く体験をしていれば、すぐに終わる問題だ。さて、赤本の解答。たいしてありがたくもない(あるいは、迷惑な)場合分けをおこなって、延々約2ページにわたって解答が掲載されている。冗長なものは実戦ではまったく使えない。Keep it simple,stupid! KISS原則と呼ばれている。
(TOOL20)
袋の中に、1と記入された球が1個、2と記入された球が2個、3と記入された球が3個、・・・、100と記入された球が100個入っている。この袋の中から同時に球を2個取り出すとき、2個の球に記入されている数の積の期待値を求めよ。このレベルの問題は合格、不合格のボーダーかもしれない。実際の入試で、制限時間内に解くことを考慮すれば、十分に難問であろう。これ1題で落ちるということはないかもしれないが、正規一発合格の奴らは解くと思われる。じっくりと考えてみよ。むやみにシグマ記号に走ると「お手上げ」になるだろう。もっと簡単な問題で、これを解くのに役立つ内容をやっているはずだ。(表を書け。算数的に考えよ。)「同時に2個取り出す」を「取り出した球をもとに戻さずに1個ずつ取り出す」と解釈してもよい。もっとも、「1個ずつもとに戻しながら2個取り出した時の期待値」なら、E(XY)＝E(X)E(Y)が使えるので、痛くも痒くもない。解答は、赤本(2005年2月4日の帝京)を見よ。ほとんどの人は意味がわからないであろう。試験時間中にやる解法ではない。解答を読んでも意味が分からないと、結局、その問題をスキップすることになる。たとえ必須問題であったとしても。
(TOOL21)
半円C:x^2+y^2＝1(yは0以上)と点(1,1)を通り傾きmの直線エルで囲まれる領域をy軸の周りに回転させてできる立体の体積をmで表せ。ただし、半円Cと直線エルは異なる2点で交わるものとする。こういうのをいきなり出題されても、最後まで解ききれる人は、正規合格レベルであろう。いや、むしろ、そういった人たちにとっては、「なんだよ、これ、簡単じゃん」というレベルであろう。しかし、どうだろうか。その他の、相当多くの人たちにとっては、「難問」になっているはずだ。この問題で使われる式変形は、私は重要だと思うので、授業でもたびたび取り扱ってきた。でも、なかなか理解してもらえないことも学習してきた。だから、頻繁に取り扱うしかないのだが、ひとつの項目ばかり繰り返してやっていられるほど時間はたっぷりとないのである。しかも、やらなければならない項目が非常に多く、入試を受けるにあたってそれらを結局は覚えておかなければならないので、「数学は暗記だ」という、馬鹿げているようだが、ある意味で的を射た発言が飛び出すのである。「数学は暗記だ」というこの考え、受験勉強においては、必要悪的に認めざるを得ないと思っている。だが、膨大と言っていいほどの受験数学の項目を、意味もわからずに暗記することは不可能であるということも承知しておかなければならない。
(TOOL22)
三角形ABCがある。角A＝45度、角B＝60度、角C＝75度である。三角形ABCの外心をOとするとき、ベクトルAOをベクトルABとベクトルACで表せ。「簡単じゃねーか！」と言い切れるだろうか。確かに、はっきり言って簡単な小問である。しかし、実際の入試で出会ったら、結構焦るのではないだろうか。この問題を説明されて理解できない人はいないだろう。いや、理解できないとしたら、もう今年は諦めよ。この時期、合格するような人は、こういった小問はことごとく瞬殺できる。はたして、あなたはどうなのか？
(TOOL23)
n＝(2のp乗)(5のq乗)とする。ただし、pとqは自然数とする。nの約数の個数、および、それらの和の求め方は知っているだろう。では、nの約数をすべてかけたものはいくらか？入試に出題されて、初見だとはずしてしまうだろう。こういうのがまだ未習の人は、過去問をやっていないか、授業で習っていないかのいずれかであろう。どちらにせよ、「こんなもの」は早いうちに潰しておけ。過去問ばかりやっても穴だらけになるという人がいるが、私に言わせれば、何か1冊の問題集だけ完璧にしておけばそれで十分と思っている方が余程危険だ。
(TOOL24)クリスマス・イブ
クリスマス・イブには、ドカン！と原点ブローアップ、ではなくて、反転！反転と言えば、「円円対応」だ。どっかの私立医学部に反転が出てた。(別に目新しいことではないが・・・)どうせやるなら、放物線を反転させよう。「放物線4x＝4y^2-1を、原点を中心とする半径1の円を反転円として反転させよ。」まあ、これも「べた問」だが、生徒には入試直前のちょうどよい演習問題になるであろう。私は今年はまだやっていない。もしかするとやらずにスルーかもしれない。それでいいのかもしれない。カージオイドが現れる。
(TOOL25)クリスマス
単位円周上に3点A(1,0),P(cosA,sinA),Q(cosB,sinB)がある。0＜B＜A＜2パイとせよ。三角形APQの面積をAとBで表せ。すぐにわかると思うが、sin(A-B)+sinB-sinAという式が現れる。この式が定符号(正)である理由はなぜか。仮に、xy座標平面上での三角形の面積公式2分の1絶対値ad-bcを用いようものなら、絶対値の処理が必要だ。そのときにも、同じ式が出て来る。絶対値をはずすためにも、定符号(正)を示さなければならない。暑苦しい和積の公式など使わずに、グラフを用いて「さわやかに」示してくれ。言っておくが、うちの塾では、こういったことは、普段はあまりやらない。今日は、特別編！
x^3-3x-1＝0,x^3-6x+6＝0,2x^3-6x-5＝0 さあ、このうちのどれか1つでも解けるか。このあたりの問題になると、できない教師たちが出て来るであろう。しかし、そういった教師たちも、誘導付きなら解けるはずだ。日常の業務はそれで差し支えない。だが、数学の得意な生徒と同レベルである。一方、受験生にとっては、このような3次方程式がいきなり出題されたら、クイズ以外の何物でもない。よって、できなくても心配しなくてもよいが、誘導がある場合には、先程の教師たちと同様、解けなければならない。慈恵や日医あたりを狙うのであれば、こういった内容は一通り潰しておくべきなのだろうが(過去問を見よ！)、その他多くの賢明な受験生は、自分にとって何が必要なのかをよく考えた上で、「とりあえず」スルーしてくれ。
(TOOL18)
3点A(t,t^2),B(s,s^2),C(p,0)がある。三角形ABCが角Aを直角とする直角二等辺三角形となるとき、sとpのそれぞれをtを用いて表せ。ただし、0＜t＜sとする。再び、帝京の過去問からの問題である。私が警戒している問題の一種だ。受験生の諸君は一度解いてみて欲しい。うまく答えを出せるだろうか。普通に思いつくまま、つまり、AB＝AC,ABとACが垂直と進めるなら、収拾がつかなくなるのではないだろうか。それでも、数学が得意で計算力のある奴らは、難なく切り抜けるかもしれない。ショートカットは、合同な直角三角形を見つけること。(考えてください！)ウラ技でも何でもない。(TOOL7)で挙げた東邦も似た内容だ。xy座標平面上で、傾きが有理数の直線と45度の角をなす直線の傾きを求めるときも然り。これら3つは、内容は異なるが、正方形を描けば「ただちに」終わるという点で、私にとっては同じだ。授業でも繰り返しやっている。赤本の解答は、「案の定(True to form)」、AB＝ACなどとやっていた。多分、この執筆者、「本当はもっといい方法があるんだけど隠しておこう」と思ったのであろう。
(TOOL19)
1,2,3,・・・,nのn個の数を左から並べる。ただし、k番目にｋという数を置いてはいけない。(k＝1,2,3,・・・,n)このような並べ方は何通りか。この場合の数をa(n)で表すことにする。いわゆる、「完全順列」である。「撹乱(かくらん)順列」とも言う。受験生諸君は、聞いたことがあるだろうか。「俺には関係ねー」と思う人もいるだろう。数学オタクの諸君にとっては初歩の初歩、つまり、「べた問」である。「べた問」と言えども、かなり難解だ。やらなくても入試で出会わずに合格してしまえばそれまでだ。解法は、少々わかりにくい漸化式を立てるか、包除の原理を使うか。(説明は省略！)私は授業ではやっていない。じゃあ、「スルーでいいのか」と聞かれれば、答えは「NO!」である。つまり、nのままやる必要はないが、a(1),a(2),a(3),a(4),a(5)ぐらいは、一度樹形図を描いて求めておくべきだ。(そんなにむずかしくありません。)ちなみに、a(1)＝0,a(2)＝1,a(3)＝2,a(4)＝9,a(5)＝44である。(本当にやってみてください。わからなければ誰かに聞いて！)北里の2006年の第1問の中の小問に今日の内容が登場する。樹形図を描く体験をしていれば、すぐに終わる問題だ。さて、赤本の解答。たいしてありがたくもない(あるいは、迷惑な)場合分けをおこなって、延々約2ページにわたって解答が掲載されている。冗長なものは実戦ではまったく使えない。Keep it simple,stupid! KISS原則と呼ばれている。
(TOOL20)
袋の中に、1と記入された球が1個、2と記入された球が2個、3と記入された球が3個、・・・、100と記入された球が100個入っている。この袋の中から同時に球を2個取り出すとき、2個の球に記入されている数の積の期待値を求めよ。このレベルの問題は合格、不合格のボーダーかもしれない。実際の入試で、制限時間内に解くことを考慮すれば、十分に難問であろう。これ1題で落ちるということはないかもしれないが、正規一発合格の奴らは解くと思われる。じっくりと考えてみよ。むやみにシグマ記号に走ると「お手上げ」になるだろう。もっと簡単な問題で、これを解くのに役立つ内容をやっているはずだ。(表を書け。算数的に考えよ。)「同時に2個取り出す」を「取り出した球をもとに戻さずに1個ずつ取り出す」と解釈してもよい。もっとも、「1個ずつもとに戻しながら2個取り出した時の期待値」なら、E(XY)＝E(X)E(Y)が使えるので、痛くも痒くもない。解答は、赤本(2005年2月4日の帝京)を見よ。ほとんどの人は意味がわからないであろう。試験時間中にやる解法ではない。解答を読んでも意味が分からないと、結局、その問題をスキップすることになる。たとえ必須問題であったとしても。
(TOOL21)
半円C:x^2+y^2＝1(yは0以上)と点(1,1)を通り傾きmの直線エルで囲まれる領域をy軸の周りに回転させてできる立体の体積をmで表せ。ただし、半円Cと直線エルは異なる2点で交わるものとする。こういうのをいきなり出題されても、最後まで解ききれる人は、正規合格レベルであろう。いや、むしろ、そういった人たちにとっては、「なんだよ、これ、簡単じゃん」というレベルであろう。しかし、どうだろうか。その他の、相当多くの人たちにとっては、「難問」になっているはずだ。この問題で使われる式変形は、私は重要だと思うので、授業でもたびたび取り扱ってきた。でも、なかなか理解してもらえないことも学習してきた。だから、頻繁に取り扱うしかないのだが、ひとつの項目ばかり繰り返してやっていられるほど時間はたっぷりとないのである。しかも、やらなければならない項目が非常に多く、入試を受けるにあたってそれらを結局は覚えておかなければならないので、「数学は暗記だ」という、馬鹿げているようだが、ある意味で的を射た発言が飛び出すのである。「数学は暗記だ」というこの考え、受験勉強においては、必要悪的に認めざるを得ないと思っている。だが、膨大と言っていいほどの受験数学の項目を、意味もわからずに暗記することは不可能であるということも承知しておかなければならない。
(TOOL22)
三角形ABCがある。角A＝45度、角B＝60度、角C＝75度である。三角形ABCの外心をOとするとき、ベクトルAOをベクトルABとベクトルACで表せ。「簡単じゃねーか！」と言い切れるだろうか。確かに、はっきり言って簡単な小問である。しかし、実際の入試で出会ったら、結構焦るのではないだろうか。この問題を説明されて理解できない人はいないだろう。いや、理解できないとしたら、もう今年は諦めよ。この時期、合格するような人は、こういった小問はことごとく瞬殺できる。はたして、あなたはどうなのか？
(TOOL23)
n＝(2のp乗)(5のq乗)とする。ただし、pとqは自然数とする。nの約数の個数、および、それらの和の求め方は知っているだろう。では、nの約数をすべてかけたものはいくらか？入試に出題されて、初見だとはずしてしまうだろう。こういうのがまだ未習の人は、過去問をやっていないか、授業で習っていないかのいずれかであろう。どちらにせよ、「こんなもの」は早いうちに潰しておけ。過去問ばかりやっても穴だらけになるという人がいるが、私に言わせれば、何か1冊の問題集だけ完璧にしておけばそれで十分と思っている方が余程危険だ。
(TOOL24)クリスマス・イブ
クリスマス・イブには、ドカン！と原点ブローアップ、ではなくて、反転！反転と言えば、「円円対応」だ。どっかの私立医学部に反転が出てた。(別に目新しいことではないが・・・)どうせやるなら、放物線を反転させよう。「放物線4x＝4y^2-1を、原点を中心とする半径1の円を反転円として反転させよ。」まあ、これも「べた問」だが、生徒には入試直前のちょうどよい演習問題になるであろう。私は今年はまだやっていない。もしかするとやらずにスルーかもしれない。それでいいのかもしれない。カージオイドが現れる。
(TOOL25)クリスマス
単位円周上に3点A(1,0),P(cosA,sinA),Q(cosB,sinB)がある。0＜B＜A＜2パイとせよ。三角形APQの面積をAとBで表せ。すぐにわかると思うが、sin(A-B)+sinB-sinAという式が現れる。この式が定符号(正)である理由はなぜか。仮に、xy座標平面上での三角形の面積公式2分の1絶対値ad-bcを用いようものなら、絶対値の処理が必要だ。そのときにも、同じ式が出て来る。絶対値をはずすためにも、定符号(正)を示さなければならない。暑苦しい和積の公式など使わずに、グラフを用いて「さわやかに」示してくれ。言っておくが、うちの塾では、こういったことは、普段はあまりやらない。今日は、特別編！
数学道具箱(2)
(TOOL12)
1997年の東京医大の第4問を解いたことがあるだろうか。t^5sin(x-t)をtで積分する問題だ。つまるところ、t^5sintの積分である。当然、部分積分に頼るわけだが、最後までやりとおせるだろうか。私も自信がない。不注意の度合いは、受験生も私もあまり違いがない。ただ、私の場合は受験生よりも知識と集中力が勝っていて、それでカバーしているだけだ。いつもどおりにダラダラと横へ横へと書き流していては、高確率で計算間違いを犯してしまうであろう。よって、何らかの手を打たなければならない。合格するための勉強をやっているのである。制限時間内に正解を出さなければならないのだ。さて、受験生諸君は、t^5sintの原始関数を30秒以内に書き下す方法をもっているのか。こういうことをやらない受験勉強って、いったい何のか。ちなみに、別解が存在する。u＝x-tと変数変換すれば(x-u)^5sin uとなる。具体的には、インテグラル0からxまで (x-u)^5sin u du となる。(もとの問題を見てください。)この式の意味が分かるだろうか。しかし、私は授業ではこのことは扱わない。
(TOOL13)
積分区間が原点対称の積分では、偶関数と奇関数の性質を使うのが常識だ。偶関数と奇関数の話は、1回ぐらいは聞いたことがあるだろう。つまらない内容である。しかし、それらの性質を使わずに積分計算をゴリ押しでおこない、結果、計算間違いをして不合格になったとしたら、つまらないどころの話ではない。2006年2月6日の東海の第3問にアタックしてみてほしい。数３をそこそこやり終えた人にとっては、「別に・・・」の問題である。短時間で正解を出せるか。東海なら数学は9割か満点でないと、合格は厳しいかもしれない。「やり方は知ってるんだけど、計算間違いしちゃって・・・」の言い訳がまったく意味を持たないのだ。過去問はホッタラカシでむずかしい問題をじっくり解くことばかりに目が向いている人が多いのではないだろうか。志望校によってはそれも大切だが、そのような人は少数であろう。ある程度、基礎が固まってきたら(or 固まりかけたら)、志望校の過去問とそれに類似した医大の過去問で実戦トレーニングをすべきだ。だが、問題点は、過去問というのは、それを使って独習するのが非常に難しいということである。多くの人は、答え合わせだけして、それで終わってしまっているのであろう。
(TOOL14)
f(x)＝ax^3+bx^2+cx+d(aは0でない)とする。曲線C：y＝f(x)上の点P(t,f(t))において曲線Cに接線をひく。この接線と曲線Cで囲まれる部分の面積を、a,b,c,d,tの中から必要な文字を選んで、それらで表せ。この問題を目の当たりにした受験生のほとんどはフリーズしてしまうだろう。それでいいのか。この問題は、(TOOL5)と同様、「べた問」である。つまり、やり方(ウラ技)があって、その通りにやれば必ず結果が(すばやく)得られるのだ。この種の問題ばかりやっていても、実力アップするわけではないのだが、「べた問」である以上、ほとんど瞬殺で終わらせる受験生がいるわけだ。だとすれば、できないと大きなビハインドになる。私は、この種の問題に対するウラ技というのは、やはり、身につけておくべきだと思う。一種のセイフティネットだ。結果のみを記す試験では、「ジャンジャン」使えばよい。確かに、記述式の答案を満足に書けない生徒は多い。しかし、だからと言って、問題が解けていないわけではない。教える側としては、どこに力点を置くかが生命線だ。記述答案にこだわり過ぎたり、数学的帰納法の問題や不等式の証明問題を必要以上にやりすぎるのは、時間の無駄になりかねない。
(TOOL15)
1浪あたりだと、まず、イニシエーション(Appalling!)が必要だ。3次関数のグラフを描くときの増減表のことだ。これをやめさせている。何度やっても同じ結果しか出ないものを、いちいち始めに戻って手順通りにやるのは徒労だ。同様のことは、例えば、3項間漸化式の解法についても言える。(一発で解けますか？)もちろん、増減表全否定はしない。概形が未知のグラフ(実はあまり多くない)を描くときには当然必要だ。あるいは、関数の最大値・最小値を求める場合には、定義域の部分だけを調べればよいのでやはり必要だ。記述式の答案が要求されているときも「然り」である。ここまでは、何も目新しい話ではない。では、分子が1次式、分母が判別式が負の2次式からなる分数関数のグラフはすぐに描けるだろうか。例えば、y＝(x-3)/(x^2+x+1)のグラフを速やかに描けるか。こういったことに目が向く理由は、「過去問」を常に参照しているからに他ならない。数学が得意な人は、与えられたものや自分が選んだものをドンドンと進めていけばよい。しかし、数学が苦手な人(医学部受験生でも結構多いはず・・・)はポイントを絞りながら、それでいて、全体をカバーするような学習方法を取らなければならない。これが2対8の法則だ。言うのは簡単だが、むずかしい作業である。苦手な人が独習でできるとは、とても思えない。大体において、ポイントがどこにあるのかわかるのか。ゴールは数学の得意な奴らと互角に戦えるようになること。(ただし、少数の異常にデキル奴らは除く)「そこそこ」では合格できないであろう。とは言っても、狭義には過去問でハイスコアを出せればいいだけの話だ。
(TOOL16)
9x^3+5x-6＝0を解け。「なーんだ、つまらない」と思ってくれたであろうか。私はこの手の3次方程式の質問を何度も受けた。習っていないのか。教師がこの解法を知らないとは思えない。教えるタイミングを逸しただけだろう。そんなことはいいとしても、「合格したいのなら当てはまる数が見つかるまで我武者羅にチャレンジせよ」と私は受験生たちに言いたい。1と-1を調べてギブアップしてしまうのか。ダメなら2と-2、分数にも執拗にアタックだ。「プラマイ(6の約数)/(9の約数)の中に解がある」この事実を使ってもよいだろう。とにかくチャレンジだ。私はいつも塾生たちにこう言っている。「全事象が100通り近くあっても、1つずつ数えるくらいの意気込みをもて！数えているうちに法則性が見出せたりするものだ」と。さて、最初の問題に戻ろう。両辺に3をかけてt＝3xとおいてみよ。これ以上は言わない。
1997年の東京医大の第4問を解いたことがあるだろうか。t^5sin(x-t)をtで積分する問題だ。つまるところ、t^5sintの積分である。当然、部分積分に頼るわけだが、最後までやりとおせるだろうか。私も自信がない。不注意の度合いは、受験生も私もあまり違いがない。ただ、私の場合は受験生よりも知識と集中力が勝っていて、それでカバーしているだけだ。いつもどおりにダラダラと横へ横へと書き流していては、高確率で計算間違いを犯してしまうであろう。よって、何らかの手を打たなければならない。合格するための勉強をやっているのである。制限時間内に正解を出さなければならないのだ。さて、受験生諸君は、t^5sintの原始関数を30秒以内に書き下す方法をもっているのか。こういうことをやらない受験勉強って、いったい何のか。ちなみに、別解が存在する。u＝x-tと変数変換すれば(x-u)^5sin uとなる。具体的には、インテグラル0からxまで (x-u)^5sin u du となる。(もとの問題を見てください。)この式の意味が分かるだろうか。しかし、私は授業ではこのことは扱わない。
(TOOL13)
積分区間が原点対称の積分では、偶関数と奇関数の性質を使うのが常識だ。偶関数と奇関数の話は、1回ぐらいは聞いたことがあるだろう。つまらない内容である。しかし、それらの性質を使わずに積分計算をゴリ押しでおこない、結果、計算間違いをして不合格になったとしたら、つまらないどころの話ではない。2006年2月6日の東海の第3問にアタックしてみてほしい。数３をそこそこやり終えた人にとっては、「別に・・・」の問題である。短時間で正解を出せるか。東海なら数学は9割か満点でないと、合格は厳しいかもしれない。「やり方は知ってるんだけど、計算間違いしちゃって・・・」の言い訳がまったく意味を持たないのだ。過去問はホッタラカシでむずかしい問題をじっくり解くことばかりに目が向いている人が多いのではないだろうか。志望校によってはそれも大切だが、そのような人は少数であろう。ある程度、基礎が固まってきたら(or 固まりかけたら)、志望校の過去問とそれに類似した医大の過去問で実戦トレーニングをすべきだ。だが、問題点は、過去問というのは、それを使って独習するのが非常に難しいということである。多くの人は、答え合わせだけして、それで終わってしまっているのであろう。
(TOOL14)
f(x)＝ax^3+bx^2+cx+d(aは0でない)とする。曲線C：y＝f(x)上の点P(t,f(t))において曲線Cに接線をひく。この接線と曲線Cで囲まれる部分の面積を、a,b,c,d,tの中から必要な文字を選んで、それらで表せ。この問題を目の当たりにした受験生のほとんどはフリーズしてしまうだろう。それでいいのか。この問題は、(TOOL5)と同様、「べた問」である。つまり、やり方(ウラ技)があって、その通りにやれば必ず結果が(すばやく)得られるのだ。この種の問題ばかりやっていても、実力アップするわけではないのだが、「べた問」である以上、ほとんど瞬殺で終わらせる受験生がいるわけだ。だとすれば、できないと大きなビハインドになる。私は、この種の問題に対するウラ技というのは、やはり、身につけておくべきだと思う。一種のセイフティネットだ。結果のみを記す試験では、「ジャンジャン」使えばよい。確かに、記述式の答案を満足に書けない生徒は多い。しかし、だからと言って、問題が解けていないわけではない。教える側としては、どこに力点を置くかが生命線だ。記述答案にこだわり過ぎたり、数学的帰納法の問題や不等式の証明問題を必要以上にやりすぎるのは、時間の無駄になりかねない。
(TOOL15)
1浪あたりだと、まず、イニシエーション(Appalling!)が必要だ。3次関数のグラフを描くときの増減表のことだ。これをやめさせている。何度やっても同じ結果しか出ないものを、いちいち始めに戻って手順通りにやるのは徒労だ。同様のことは、例えば、3項間漸化式の解法についても言える。(一発で解けますか？)もちろん、増減表全否定はしない。概形が未知のグラフ(実はあまり多くない)を描くときには当然必要だ。あるいは、関数の最大値・最小値を求める場合には、定義域の部分だけを調べればよいのでやはり必要だ。記述式の答案が要求されているときも「然り」である。ここまでは、何も目新しい話ではない。では、分子が1次式、分母が判別式が負の2次式からなる分数関数のグラフはすぐに描けるだろうか。例えば、y＝(x-3)/(x^2+x+1)のグラフを速やかに描けるか。こういったことに目が向く理由は、「過去問」を常に参照しているからに他ならない。数学が得意な人は、与えられたものや自分が選んだものをドンドンと進めていけばよい。しかし、数学が苦手な人(医学部受験生でも結構多いはず・・・)はポイントを絞りながら、それでいて、全体をカバーするような学習方法を取らなければならない。これが2対8の法則だ。言うのは簡単だが、むずかしい作業である。苦手な人が独習でできるとは、とても思えない。大体において、ポイントがどこにあるのかわかるのか。ゴールは数学の得意な奴らと互角に戦えるようになること。(ただし、少数の異常にデキル奴らは除く)「そこそこ」では合格できないであろう。とは言っても、狭義には過去問でハイスコアを出せればいいだけの話だ。
(TOOL16)
9x^3+5x-6＝0を解け。「なーんだ、つまらない」と思ってくれたであろうか。私はこの手の3次方程式の質問を何度も受けた。習っていないのか。教師がこの解法を知らないとは思えない。教えるタイミングを逸しただけだろう。そんなことはいいとしても、「合格したいのなら当てはまる数が見つかるまで我武者羅にチャレンジせよ」と私は受験生たちに言いたい。1と-1を調べてギブアップしてしまうのか。ダメなら2と-2、分数にも執拗にアタックだ。「プラマイ(6の約数)/(9の約数)の中に解がある」この事実を使ってもよいだろう。とにかくチャレンジだ。私はいつも塾生たちにこう言っている。「全事象が100通り近くあっても、1つずつ数えるくらいの意気込みをもて！数えているうちに法則性が見出せたりするものだ」と。さて、最初の問題に戻ろう。両辺に3をかけてt＝3xとおいてみよ。これ以上は言わない。
数学道具箱(1)
分かっている人にとっては取るに足りないものばかりかもしれません。（数学は分かってしまうとアタリマエのことばかり！）しかし、このページをたまたま見てくれた私立医学部受験生にとっては、かなり役に立つものがあると思いますよ。どうぞご覧ください。詳しいことが知りたければ、あなたの所属している予備校か塾の先生に聞いて！（ごめんなさい！）このコーナーも、今後、書き足していきます。
(TOOL1)
四角形ABCDが円に内接している。AB＝3,BC＝6,CD＝4,DA＝5である。ACとBDの交点をPとする。三角形PABと三角形PBCの面積比を求めよ。さらには、4つの三角形PAB,PBC,PCD,PDAの面積比を一発で求められる公式をもっているか。（プラマグプタの公式なんて覚えないで、こういう問題をちゃんと身に付けておこう！）
(TOOL2)
三角形ABCがありAB＝9,BC＝8,CA＝7である。さらに、辺BC上に点Dがあり、線分ADが角BACを二等分している。線分ADの長さを最速で求める方法は？
(TOOL3)
AB＝9,BC＝8,CA＝7三角形ABCの3つの傍接円のうち、辺BCに接する円の中心をPとする。ベクトルAPをベクトルABとベクトルACで表せ。あるいは、この内容を公式化しているか。さらには、内接円の半径r、3つの傍接円の半径をa,b,cとするとき、これら4文字の関係式は？（これは別にやらなくてもよい。）
(TOOL4)
xy座標平面上で、点P(a,b)から直線y＝mxに下ろした垂線の足をHとする。線分OHの長さをa,b.mを用いて速やかに表示できるか？ベクトル(1,m)方向の単位ベクトルの利用が効果的である。点と直線の距離の公式、あるいは、点と平面の距離の公式も、単位ベクトルを利用して非常にシンプルに証明できる。
(TOOL5)
xy座標平面上で、点P(a,b)から放物線y＝x^2に2本の接線を引く。これら2本の接線とy＝x^2で囲まれた部分の面積をaとbで表せ。ただし、a^2>bとする。この問題の答えを30秒前後ではじき出せるか？(暗算で！) 分かっている人には非常に簡単な超典型問題なのだが(つまり、no-brainer)、私の経験からすると、まあまあ数学ができる生徒でも、いざやらせて見ると結構モタモタして即答できない。(しかも、今頃の時期だったりする。)実際の入試問題で、このような形の出題はまずありえないから、心配しなくてもよいのかもしれないが、しかし、「こんなもの」も解けないようでは、実力の脆さを感じる。模擬試験で優秀な判定を出しておきながら、合格できない人たちが少なからずいるわけだが、その理由の一端が垣間見えるような感じがする。
(TOOL6)
xy座標平面上に2点A(a,0),B(0,b),P(p,q)がある。a>0,b>0,p>0,q>0とする。三角形PBAが正三角形となるとき、pとqのそれぞれをa,bを用いて表せ。PB＝BA＝APなんてやっているようでは、喜ぶのは予備校や塾の先生だけだ。ちなみに俺は喜ばない。教室が険悪なムードになる。(ちょっと言い過ぎました！)
(TOOL7)
xy座標平面上に2点A(a,0),B(0,b),P(p,q)がある。a>0,b>0,p>0,q>0とする。三角形PBAが角Pが直角の直角二等辺三角形となるとき、pとqのそれぞれをa,bを用いて表せ。(TOOL6)と同じ手(行列)を使うのは芸がない。芸がないどころか、非効率だ。というか、東邦の過去問はやさし過ぎて、皆やっていないのか。行列も、今はなき複素も、出る幕ではない。
(TOOL8)
1辺の長さが2の正五角形の面積を求めよ。この問題は一度は体験しておいた方がよい。はっきり言って簡単な問題である。しかし、誘導なしで最後まで自分で到達できるだろうか。18度、36度、54度、72度の三角比が絡んでくる。私は、これらの三角比をすぐに求められるように塾生に要求している。半ば暗記である。(覚え方のコツはあるのだが・・・)即答は不要だが、速やかに書き下せるようにすべきだ。数学を学ぶという意味において、明らかにナンセンスなこの指導を私はおこなっている。実戦的であるとは、こういうことを言うのだと思う。(ということは、15度、75度は朝飯前！)
(TOOL9)
3つの正の数a,b,cが三角形の3辺になるための条件をしっかり把握しているか。b+c>a,c+a>b,a+b>cの3不等式が同時に成立すればよいのだが、これらを用いることはまずない。これら3不等式は1つの不等式にまとめられる。つまり、a,b,cのうちどれか1つを真ん中に置き、(他の2辺の差)<(1辺)<(他の2辺の和)となるのである。(なぜだか分かりますか？)差とは大きいものから小さいものを引いて得られるものなので、大小が不明の場合には、絶対値記号を使用することになる。さらには、例えば、cがa,b,cの中で最大であると判明しているときはどうなるのか。
(TOOL10)
sin3x＝cosxを解け。(ただし、xは0度以上180度以下)今日授業でやった帝京の過去問の中からの問題である。この手の問題がいい加減の人が多いように思う。(当塾の塾生ではない！)和積を使う人が多いだろうが、もっと他にさわやかな方法があるでしょ。sinx＝sinyとかcosx＝cosyとかtanx＝tanyの処理ができない人が多い。習っていないのか。いずれにせよ、基本中の基本である。合格するために、どこまでしっかりと理解しなければならないのかを、もっと真剣に考えるべきだ。あと、帝京の数学の過去問、やった方がいいよ。受験してもしなくても。
(TOOL11)
sin5x>cos2xを解け。(ただし、xは0度以上90度以下) (TOOL10)をやったのなら、当然次はこう来るわけだ。さて、受験生諸君！この問題、捌(サバ)けるかね。グラフをしっかり描こう。そうすれば、だいたいどのあたりのxか分かるだろう。交点の計算は(TOOL10)のようにやればよい。同様のことは、無理不等式でも言える。例えば、ルート(x+1)＞x-1はちゃんと解けるか。いきなり両辺を2乗した人は、「また来年！」だ。あるいは、右辺を正負で場合分けするか。その人は有望だ。しかし、グラフを書いて交点をあとから計算すれば一撃だ。
(TOOL1)
四角形ABCDが円に内接している。AB＝3,BC＝6,CD＝4,DA＝5である。ACとBDの交点をPとする。三角形PABと三角形PBCの面積比を求めよ。さらには、4つの三角形PAB,PBC,PCD,PDAの面積比を一発で求められる公式をもっているか。（プラマグプタの公式なんて覚えないで、こういう問題をちゃんと身に付けておこう！）
(TOOL2)
三角形ABCがありAB＝9,BC＝8,CA＝7である。さらに、辺BC上に点Dがあり、線分ADが角BACを二等分している。線分ADの長さを最速で求める方法は？
(TOOL3)
AB＝9,BC＝8,CA＝7三角形ABCの3つの傍接円のうち、辺BCに接する円の中心をPとする。ベクトルAPをベクトルABとベクトルACで表せ。あるいは、この内容を公式化しているか。さらには、内接円の半径r、3つの傍接円の半径をa,b,cとするとき、これら4文字の関係式は？（これは別にやらなくてもよい。）
(TOOL4)
xy座標平面上で、点P(a,b)から直線y＝mxに下ろした垂線の足をHとする。線分OHの長さをa,b.mを用いて速やかに表示できるか？ベクトル(1,m)方向の単位ベクトルの利用が効果的である。点と直線の距離の公式、あるいは、点と平面の距離の公式も、単位ベクトルを利用して非常にシンプルに証明できる。
(TOOL5)
xy座標平面上で、点P(a,b)から放物線y＝x^2に2本の接線を引く。これら2本の接線とy＝x^2で囲まれた部分の面積をaとbで表せ。ただし、a^2>bとする。この問題の答えを30秒前後ではじき出せるか？(暗算で！) 分かっている人には非常に簡単な超典型問題なのだが(つまり、no-brainer)、私の経験からすると、まあまあ数学ができる生徒でも、いざやらせて見ると結構モタモタして即答できない。(しかも、今頃の時期だったりする。)実際の入試問題で、このような形の出題はまずありえないから、心配しなくてもよいのかもしれないが、しかし、「こんなもの」も解けないようでは、実力の脆さを感じる。模擬試験で優秀な判定を出しておきながら、合格できない人たちが少なからずいるわけだが、その理由の一端が垣間見えるような感じがする。
(TOOL6)
xy座標平面上に2点A(a,0),B(0,b),P(p,q)がある。a>0,b>0,p>0,q>0とする。三角形PBAが正三角形となるとき、pとqのそれぞれをa,bを用いて表せ。PB＝BA＝APなんてやっているようでは、喜ぶのは予備校や塾の先生だけだ。ちなみに俺は喜ばない。教室が険悪なムードになる。(ちょっと言い過ぎました！)
(TOOL7)
xy座標平面上に2点A(a,0),B(0,b),P(p,q)がある。a>0,b>0,p>0,q>0とする。三角形PBAが角Pが直角の直角二等辺三角形となるとき、pとqのそれぞれをa,bを用いて表せ。(TOOL6)と同じ手(行列)を使うのは芸がない。芸がないどころか、非効率だ。というか、東邦の過去問はやさし過ぎて、皆やっていないのか。行列も、今はなき複素も、出る幕ではない。
(TOOL8)
1辺の長さが2の正五角形の面積を求めよ。この問題は一度は体験しておいた方がよい。はっきり言って簡単な問題である。しかし、誘導なしで最後まで自分で到達できるだろうか。18度、36度、54度、72度の三角比が絡んでくる。私は、これらの三角比をすぐに求められるように塾生に要求している。半ば暗記である。(覚え方のコツはあるのだが・・・)即答は不要だが、速やかに書き下せるようにすべきだ。数学を学ぶという意味において、明らかにナンセンスなこの指導を私はおこなっている。実戦的であるとは、こういうことを言うのだと思う。(ということは、15度、75度は朝飯前！)
(TOOL9)
3つの正の数a,b,cが三角形の3辺になるための条件をしっかり把握しているか。b+c>a,c+a>b,a+b>cの3不等式が同時に成立すればよいのだが、これらを用いることはまずない。これら3不等式は1つの不等式にまとめられる。つまり、a,b,cのうちどれか1つを真ん中に置き、(他の2辺の差)<(1辺)<(他の2辺の和)となるのである。(なぜだか分かりますか？)差とは大きいものから小さいものを引いて得られるものなので、大小が不明の場合には、絶対値記号を使用することになる。さらには、例えば、cがa,b,cの中で最大であると判明しているときはどうなるのか。
(TOOL10)
sin3x＝cosxを解け。(ただし、xは0度以上180度以下)今日授業でやった帝京の過去問の中からの問題である。この手の問題がいい加減の人が多いように思う。(当塾の塾生ではない！)和積を使う人が多いだろうが、もっと他にさわやかな方法があるでしょ。sinx＝sinyとかcosx＝cosyとかtanx＝tanyの処理ができない人が多い。習っていないのか。いずれにせよ、基本中の基本である。合格するために、どこまでしっかりと理解しなければならないのかを、もっと真剣に考えるべきだ。あと、帝京の数学の過去問、やった方がいいよ。受験してもしなくても。
(TOOL11)
sin5x>cos2xを解け。(ただし、xは0度以上90度以下) (TOOL10)をやったのなら、当然次はこう来るわけだ。さて、受験生諸君！この問題、捌(サバ)けるかね。グラフをしっかり描こう。そうすれば、だいたいどのあたりのxか分かるだろう。交点の計算は(TOOL10)のようにやればよい。同様のことは、無理不等式でも言える。例えば、ルート(x+1)＞x-1はちゃんと解けるか。いきなり両辺を2乗した人は、「また来年！」だ。あるいは、右辺を正負で場合分けするか。その人は有望だ。しかし、グラフを書いて交点をあとから計算すれば一撃だ。
英単語BOX
お茶の水 酒井塾 LR オリジナルの英単語プリント ENGLISH WORD BUILDER からの抜粋です。私からのメッセージでもあります。ここに掲載された英単語を見ていろいろなことを想像できるかと思います。異論・反論もあるでしょう。まあ、行間を読み取ってください。（試験問題では行間を読むのはやらないように。行間には何も落ちていない！）以後、時々、書き足していきます。
intrigue/hectic/lucrative/mediocre/discrepancy/leash/unseat/unfold/
euphemism/seismology/demography/graphic(露骨な)/outlook(見解)/
intoxicated/venom/milk X of Y/suspend(濁らせる)/suspension(懸濁液)/
overcast/blueprint/binary/bilateral/slug/sluggish/up and about/
aesthetics/totipotent/honored(有効な)/flaw/flawless/blur/blurry/
anesthetics/rampant/rampage/ailment/be proficient in/tacit/intact/
scramble to/subscribe to X/subscribe a petition/embark on/incorporate/
drug regimen/nudge/lizard/arachnoid/subarachnoid hemorrage/thaw/
articulate/emulate/translucent/opaque/reservoir/version(説明)/hardy/
be swamped with/be endowed with/fun to be around/lofty/precipice
appropriate(私物化する)/discipline(学問領域)/episode(発病)/
fault(断層)/property(特性)/teller/scrutiny/caress/curfew/gadget/
soot/sporadic/starch/wrap up/far-fetched/pigment/poignant/smuggle/
culprit/culmination/foe/roe/spawn/spore/hump/humpbacked/full-fledged/
hives/piles/gill/fraternal/filial piety/marital quarrel/martial/marshal/
solder/be plated with/loaded(＝rich)/on the premises/
temper X with Y/nominal/diagonal/torso/fuselage/affluent/effluent/
no-brainer/tact/tactful/tick/what makes sb tick/sport/sport a mustache/
have a crush on/matter-of-factly/out of proportion/scab/scar/scald/
heuristic/tangible/buoyant/eugenic(Appalling!)/debris/
concave/convex/dwarf/go to seed/languish/wither/
what it takes to/override a veto/in vitro/in vivo/mongrel/cicada/
refraction/incidence(入射,発生率)/coincidence/confiscate/
lamp/lump/ramp/rump/curb/curve/carve/crave/
serendipity/celestial/terrestrial/bluff/rebuff/fluke/flunk/truant/
plateau/biennial/perennial/hardy perennial/pendulum/
apprehension(理解、懸念、逮捕)/circulation(発行部数)/
sabbatical leave/dexterous/makeshift/infrared/infringement/nomads/
put down(; ;)/put up(東医)/look up(近畿)/crack down on/crack up/
pull for/pull off/make off with/go in for/put in for/
be afflicted with/inflict X on Y/
X entails Y.(XということはYということだね)/X strikes Y as Z./
embroil/embroidery/cleave/cleft sentence/determiner/
ache for/hanker for/X is to die for./come off as/county/well-wisher/
disperse/disperse system/psychiatric ward/Chiyodaku Ward/ward off/
auditory/audible/autism/audit/almanac/allotrope/albeit/bait/usher/
visual/visible/viable/values(価値観)/valuables(貴重品)/vernacular/endemic/
distill/volatile/desiccate/decimal/decimate/dismal/novel/provisional/
rapport/rapture/rupture/raptorial/pan out/pin down/chore/abs/wean/
waft/whiff/wag/whip/whimp/wallow/harness/threatening skies/dispatch/
adjoining/adjacent/adjourn/adjunct/glossary/posthumous/neutralize/
restrain/restrict/constrain/constrict/これらの違いは？
be confined to bed/condone/concede/contend/conspiracy/
Achilles(アキリズ、「キ」にアクセント) tendon/Athens（「ア」thンズ）
strain/strait/trait/sprain/bruise/dislocation/lateral ligament/sinew/
bizarre/weird/isthmus/lineage/bereave X of Y/feed X to Y/prognosis/
hefty/cumbersome/irksome/iconic/incumbent/inaugural/circumference/
incest/spouse/polygamy/allogamy/autonomy/autocracy/meritocratic/
blunder/grudge/grievance/ordeal/outfit/staple/detergent/deterrent/
deter sb from doing/defer/defer to X/hind/hindmost/hinder/heed/
demeanor/misdemeanor/demeaning/gainsay/heave/upheaval/
humoral/humane/mundane/mandate/base/asunder/astray/aloof/annul/
lackluster/lukewarm/lubricate/cartilage/ambient/peripheral/mantis/
acrimonious/audacious/tantalize/tentative/tenure/tenuous/lean/
bolster/foster/fester/pus/phlegm/fetter/tether/custody/detention/
pun/punch line/funny bone/X hits the spot./spot/outdo/wayward/pundit/
intrigue/hectic/lucrative/mediocre/discrepancy/leash/unseat/unfold/
euphemism/seismology/demography/graphic(露骨な)/outlook(見解)/
intoxicated/venom/milk X of Y/suspend(濁らせる)/suspension(懸濁液)/
overcast/blueprint/binary/bilateral/slug/sluggish/up and about/
aesthetics/totipotent/honored(有効な)/flaw/flawless/blur/blurry/
anesthetics/rampant/rampage/ailment/be proficient in/tacit/intact/
scramble to/subscribe to X/subscribe a petition/embark on/incorporate/
drug regimen/nudge/lizard/arachnoid/subarachnoid hemorrage/thaw/
articulate/emulate/translucent/opaque/reservoir/version(説明)/hardy/
be swamped with/be endowed with/fun to be around/lofty/precipice
appropriate(私物化する)/discipline(学問領域)/episode(発病)/
fault(断層)/property(特性)/teller/scrutiny/caress/curfew/gadget/
soot/sporadic/starch/wrap up/far-fetched/pigment/poignant/smuggle/
culprit/culmination/foe/roe/spawn/spore/hump/humpbacked/full-fledged/
hives/piles/gill/fraternal/filial piety/marital quarrel/martial/marshal/
solder/be plated with/loaded(＝rich)/on the premises/
temper X with Y/nominal/diagonal/torso/fuselage/affluent/effluent/
no-brainer/tact/tactful/tick/what makes sb tick/sport/sport a mustache/
have a crush on/matter-of-factly/out of proportion/scab/scar/scald/
heuristic/tangible/buoyant/eugenic(Appalling!)/debris/
concave/convex/dwarf/go to seed/languish/wither/
what it takes to/override a veto/in vitro/in vivo/mongrel/cicada/
refraction/incidence(入射,発生率)/coincidence/confiscate/
lamp/lump/ramp/rump/curb/curve/carve/crave/
serendipity/celestial/terrestrial/bluff/rebuff/fluke/flunk/truant/
plateau/biennial/perennial/hardy perennial/pendulum/
apprehension(理解、懸念、逮捕)/circulation(発行部数)/
sabbatical leave/dexterous/makeshift/infrared/infringement/nomads/
put down(; ;)/put up(東医)/look up(近畿)/crack down on/crack up/
pull for/pull off/make off with/go in for/put in for/
be afflicted with/inflict X on Y/
X entails Y.(XということはYということだね)/X strikes Y as Z./
embroil/embroidery/cleave/cleft sentence/determiner/
ache for/hanker for/X is to die for./come off as/county/well-wisher/
disperse/disperse system/psychiatric ward/Chiyodaku Ward/ward off/
auditory/audible/autism/audit/almanac/allotrope/albeit/bait/usher/
visual/visible/viable/values(価値観)/valuables(貴重品)/vernacular/endemic/
distill/volatile/desiccate/decimal/decimate/dismal/novel/provisional/
rapport/rapture/rupture/raptorial/pan out/pin down/chore/abs/wean/
waft/whiff/wag/whip/whimp/wallow/harness/threatening skies/dispatch/
adjoining/adjacent/adjourn/adjunct/glossary/posthumous/neutralize/
restrain/restrict/constrain/constrict/これらの違いは？
be confined to bed/condone/concede/contend/conspiracy/
Achilles(アキリズ、「キ」にアクセント) tendon/Athens（「ア」thンズ）
strain/strait/trait/sprain/bruise/dislocation/lateral ligament/sinew/
bizarre/weird/isthmus/lineage/bereave X of Y/feed X to Y/prognosis/
hefty/cumbersome/irksome/iconic/incumbent/inaugural/circumference/
incest/spouse/polygamy/allogamy/autonomy/autocracy/meritocratic/
blunder/grudge/grievance/ordeal/outfit/staple/detergent/deterrent/
deter sb from doing/defer/defer to X/hind/hindmost/hinder/heed/
demeanor/misdemeanor/demeaning/gainsay/heave/upheaval/
humoral/humane/mundane/mandate/base/asunder/astray/aloof/annul/
lackluster/lukewarm/lubricate/cartilage/ambient/peripheral/mantis/
acrimonious/audacious/tantalize/tentative/tenure/tenuous/lean/
bolster/foster/fester/pus/phlegm/fetter/tether/custody/detention/
pun/punch line/funny bone/X hits the spot./spot/outdo/wayward/pundit/
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