これは何？

Quantum Leapもまだ書き上げていないのに、次行きます！

知っている方は当然いらっしゃるとは思いますが、今日は受験から少し外れた問題を掲載してみたいと思います。(でも、大学受験にまったく関係ないかというと、そうでもない・・・)


(問題1)nを自然数とする。自然数の値をとる関数F(n),G(n)がある。G(n)は、nのすべての約数kに対し、F(k)を足し合わせたものとする。このようなF(n),G(n)に対し、F(12)をG(1),G(2),G(3),G(4),G(6),G(12)で表す方法を考えよ。(以下の式を参考にしてください。)

G(12)＝F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(6)+F(12)
G(6)＝F(1)+F(2)+F(3)+F(6)
G(4)＝F(1)+F(2)+F(4)
G(3)＝F(1)+F(3)
G(2)＝F(1)+F(2)
G(1)＝F(1)



(問題2)nを自然数とする。自然数の値をとる関数F(n),H(n)がある。H(n)は、nのすべての約数kに対し、kF(k)を足し合わせたものとする。このとき、F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(6)+F(12)をH(1),H(2),H(3),H(4),H(6),H(12)で表す方法を考えよ。(以下の式を参考に！)

H(12)＝F(1)+2F(2)+3F(3)+4F(4)+6F(6)+12F(12)
F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(6)+F(12)＝？
　　　　

Quantum Leap

タイトルから内容を想像できますか？直訳は「劇的な跳躍」といった感じでしょうか。(Jumpではダメです！Leapです！Jumpはその場で飛び跳ねている感じ。Leapは何かを飛び越える感じ。)


これからお話しすることは、もちろん受験勉強に関することです。今回は特に数学の成績のQuantum Leapについて考えてみたいと思います。つまり、数学の得点力はどうすれば劇的にアップするのか？言うまでもないことですが、これさえやれば誰でもできるようになるといったお手軽な方法は存在しません。(あるのならどうぞおやりください！)結局は

　　　　　　There is no magic fomula other than lots of practice.

なのです。だからと言って、ただ闇雲にやっていても成果が得られないのも事実でしょう。


さて、「どうすればできるようになるのか」という問題に対する考察をやってみようと思います。安易に何かの結論を出すと言うのではなく、状況を分析して問題の本質に少しでも近づく材料を提供してみたいと思います。どの分野においてもそうですが、このようないわゆる「問題解決」でもっとも重要なことは、問題の本質を抉(えぐ)り出すことです。もちろん、個々の入試問題を解くといったレベルにも当てはまります。

今日はここまでです。本論は近日中に！（すみません！）

医学部受験を諦めよ！

「テキスト全否定」とか「医学部受験を諦めよ」とか、また変なこと言ってるよ・・・

このようにお感じになったであろう。今回もウケ狙いではなく、「マジ」である。このタイトルは、作家の五木寛之先生の最近の著書「人間の覚悟」からの表層的なパクリである。五木先生によると、覚悟とは諦めることであり、諦めるとは、「明らかに究める」ということである。さて、医学部受験生諸君！医学部受験を諦めることができたであろうか。明日の愛知を皮切りに、これから約1か月に渡り、これまでの学業の成果が明らかになっていく。

世間は、昨日、一昨日とセンター試験で騒がしかった。うちは関係ないので、静かに傍観、いや、特に気に留めることもなかった。センター試験に関しては、言いたいことは山ほどあるが、また別の機会に述べようと思う。ただひとつだけ言うと、多くの受験生は出題者によって完全にウラをかかれている。

私は、「みんな、頑張ろうね」のような第3者的な発言はしたくない。塾生はもちろんのこと、私自身も渦中にあり当事者である。最終合格が出るまでは、明日以降も授業は通常どおりだ。ひとつ入試を受けたら、そのときできなかったところや気になるところの補強をして次に備える。遣っ付け仕事のように次から次へと入試をやり過ごしていてはダメだ。受かるか受からないかギリギリの人であれば、この時期、入試ごとに学力が上昇していくことは十分にあり得る。一試合ごとに強くなって勝ち上がっていく高校野球チームだって、実際にあるわけだから。

正当な努力をした人が、それにふさわしい結果を得ることを真に願う。言うまでもないことだが、一刻も早く受験勉強から抜け出して、医学を諦めてくれ。

数学道具箱(4)

(TOOL26)もう大晦日
　　　　「xの3次方程式x^3+3ax^2+3ax+a^3＝0の実数解の個数を
　　　　　aの値によって分類せよ」
　
当塾では、「こんなもの」、いや、失礼、「このような問題」は、ほとんどやらない。パラメータが2次以上で、いわゆる「パラメータ分離」ができないからだ。塾生の志望校とその過去問を見てそう判断している。ところが、次のような問題では事情が異なる。
　
　　　　「xの2次方程式2x^2-2ax+a^2-1＝0が、0以上1以下の
　　　　　解をもつaの条件を求めよ」

ほとんどの人はこれを2次関数のグラフの応用問題として解くであろう。まあ、それでもよかろう。しかし、暑苦しい解法だ。

うちでは、「グラフの足し算」が幅を利かせている。y＝f(x)とy＝g(x)のグラフをxy座標平面上で(y方向に)足し合わせてy＝f(x)+g(x)のグラフを描くやり方だ。これにより、軸が座標軸に対して傾いた楕円、放物線は「イチコロ」になる。解の公式を用いて、y＝(xの式)に変形すればいいだけの話だ。何度か経験すれば形がわかってしまうで、増減表は不要。あとは、主要な点の座標を求めるために、数学の答案としては禁じ手の「エフダッシュ＝ゼロ」を解く。物理屋のやり方だ。ここに「カバリエリの原理」なんかも、ちょっとふりかけてグラフが囲む面積も積分なしで済ませる。こういうことを習っている人もいるのだろうけど、私のいろいろ見聞きしたところから察すると、ほとんどの場合、「瞬殺」とはまったく縁のない解法が繰り広げられているだけのような気がする。

(TOOL27)すでに2009年
うちでは、数学はy＝x+(x分の１)のグラフの話から始まる。開始早々、これだ。多くの人にとっては、相加・相乗平均の不等式でお馴染みの式である。もちろん、そのこともやるのだが、私はこのグラフをネタに「グラフの足し算」をまず習得させることに時間を割いている。経験からそうなった。例えば、y＝x^2-2x+(x^2-2x+4)^(-1)の場合、相加・相乗では最小値が求められない。(なぜか？)まあ、何かの対策をするというのは、最悪の事態にまで対処できてこそ「対策」になり得るのであって、いちいち例外を設けながらその見分け方を教えるのは効率が悪いと思っている。

(TOOL28)
数列a(n)に対し、A(n)＝a(n)の2乗、とおく。a(1)＝1とする。
　　　　　　　　　　　　A(n+1)＝A(n)+3+(1/n)
のとき、m＜a(100)＜m+1を満たす整数mの値を求めよ。2007年2月6日の帝京の過去問をみて、私がその場で作った問題だ。このような、不等式による評価が絡む問題は、うちの塾では取り扱い注意問題となる。うちは、東大受験生のためのオールマイティの学力をつけさせる塾ではない。数学が苦手だ、でも医学部に行きたい、そんな人のための塾だ。できる人は来なくてよい。よって、何をやらせるかに非常に神経を使う。余計なことを言うと、東大受験生がこの問題をノーヒントで瞬殺できないのなら、志望変更を考えたほうがよい。あるいは、英語と国語で稼ぐか。(実際、そういう人、結構いるはず！)さて、今日は1月11日。当塾の進捗状況だが、数学は11月に帝京の過去問をやったのを最後に、最近は私立医学部の過去問をやっていない。やるものがない。帝京もそうだが、まさか川崎の過去問にも手をだすことになるとは思わなかった。現在、やっているのは、私のオリジナルものばかりだ。なお、私立医学部の英語の過去問は依然としてフル稼働だ。すでにやったものも、もう1度やらせている。直前期の英文の読み込みが大切であることに異議を唱える人はいないであろう。理科は、ほとんど「ついでに」状態。

(TOOL29)
ベン図あるいはカルノー図をうまく使いこなしているだろうか。

「1個のサイコロをn回振って、出た目の積が6で割り切れる確率を求めよ。」
「A,A,B,B,C,D,E,Fが一つずつ書かれた8枚のカードを並べるとき、同じ文字の書かれたカードが隣合わない確率を求めよ。」
「動点Pが初めxy平面上の原点にある。1枚のコインを振って表が出たらx方向に+1進み、裏が出たらy方向に+1進む。コインをn回振って、直線x＝2上を1以上進む確率を求めよ。」

などなど・・・　さらには、

「1個のサイコロをn回振って、出た目の積が4で割り切れる確率を求めよ。」

あたりの問題も、「べた問」になりつつある。ついでだが、

「RRBBWWWWの8個の玉を環状に並べる方法は何通りか？(円順列)あるいは、数珠にするなら何通りか？

なんかは、数学の苦手な人にはいいトレーニングとなるだろう。

化学 TIPS(2)

(TIP23)
1次反応の定量的な話はできますか？
「1モルの化合物Aが1モルの化合物Bと1モルの化合物Cに分解する反応を考える。この反応の正反応の反応速度をvとする。さらに、vは[A]比例するものとせよ。1リットルの容器に一定量のAを入れる。そのときを時刻t＝0とする。その後、分解が進み、t＝10秒で[A]＝2.16mol/l,t＝20秒で[A]＝1.44mol/l だった。t＝0で容器中にあったAは何モルか？」
AやBやCを、とりあえず気体とでも思ってください。この問題、むずかしい部類に入るのだと思うのですが、どうせやるならここまでやっておきましょう！あと、1次反応といえば、半減期をもつこともお忘れなく！

(P.S.)念のために・・・　本当に念のために申し上げますが、(TIP23)の答えを2.88と思った人！いるんじゃないですか？1次反応は1次関数じゃないんだよ！指数関数なんですよ！でもね、うちの塾じゃあ、化学の時間に「数学いじり」はしませんから！そういうの、好きな人にはちょっとものたりないかも・・・

(TIP24)
「11.25gの中性アミノ酸Xをエタノールでエステル化すると、15.45gの化合物が得られた。この中性アミノ酸Xは何か？」数IIIなどでもっとむずかしい計算問題をやっているのに、こんな簡単な化学の計算問題でもたついたりするものです。みんなは解けますか？10分とか15分もかけたらダメですよ。(そんなにかかるのなら捨てましょう・・・)せいぜい2,3分。以前、(TIP)で、M'＝M+28というのを書きましたが、これとは関係ありません。(じゃあ、なんなんだよ！)ところで、「加比の理」って、聞いたことありますか。今回は、これを使うのがいいかもしれない。

(TIP25)
原子と原子、陽イオンと陰イオンが寄り集まるとき、特別の事情でもない限り、隙間をできるだけ小さくするようにして寄り集まる。今回は、イオン結晶の3タイプについて見てみよう。

　　　　　・8配位・・・・・代表例は、CsCl
　　　　　・6配位・・・・・代表例は、NaCl
　　　　　・4配位・・・・・代表例は、ZnS

陽イオンの半径をr、陰イオンの半径をRとすると、一般に、r＜Rであるが、8配位と6配位置、6配位と4配位の、それぞれの場合について、境目のr/Rの値はいくらか？細かい説明は省略しますが、この項目も「やるかやらないか」いつも悩むところです。と言いつつ、今年も多分やる。

(TIP26)
合金について。できるかなー？（念のため、覚えておきましょう。）
・青銅＝Cu-(　)
・黄銅＝Cu-(　)
・白銅＝Cu-(　)
・ステンレス＝Fe-(　)-(　)
・ジュラルミン＝Al-(　)-(　)-(　)　

(TIP27)
AgIがアンモニア水に溶けるか溶けないか、即答できない人は、ちょっと下がってもらうとして、では、AgClがアンモニア水にどれくらい溶けるかの計算はできるだろうか。これはやらなくてもいいのかもしれないが・・・

　　　　「C[mol/l]のアンモニア水1リットルに対するAgClの溶解度をS[mol]とする。
　　　　　AgClの溶解度積をKsp、銀イオンとアンモニア2分子から
　　　　　ジアンミン銀(I)イオンが生成するときの平衡定数をKとして、
　　　　　SをCとKspとKで表せ。アンモニアの電離は無視せよ。」

この問題には質量作用の式が2つある。こういうとき、まずは2式に共通に含まれる文字を消去しよう。[Ag+]だ。AgClが溶けてしまったあとの溶液中には微量しか存在していない。ほとんど錯イオンになってしまっているのだ。そんな微量なものには注目したくもないので、[Ag+]を消去すると、

　　　　　　　　　　Ksp・K・[NH3]^2＝[Cl-][X+]

という式ができるだろう。X+は、ジアンミン銀(I)イオンを表している。あとは、考えてみよ。非常に荒い近似をすると、S＝Cルート(KKsp)となる。こういうのバリバリやりたい人には、うちの塾は向かない。方向性がちょっとちがう。

(TIP28)
水素(気)の燃焼熱は286kJ/mol である。これは、水(液)の生成熱と言ってもよい。燃料電池について考えよう。水の電気分解を逆回転させて電気エネルギーを取り出す装置だ。この286kJ/mol がすべて電気エネルギーに変換されたとするなら(仮定の話！)、何ボルトの電圧が取り出せるだろうか。(必要なデータは省略！)物理を知らない人には、ちょっとキツイ。2003年の愛知を見てみよ。問題文を読めばできるようにはなっているのだが、場合によっては完全にスルーもありだろう。しかし、燃料電池には2種類あって、そのそれぞれにおける電極での反応式くらいは書けるようにしよう。いつものように余計なことを言わせてもらう。286のうち、実際に取り出せるのは約240くらいである。(正確には、298K、1barで237です。)熱エネルギーとして取り出すなら286取り出せるわけだが、その中にどうしても取り出すことができない部分があるのだ。熱というのは質(たち)の悪い形態のエネルギーなのだ。こういった理由について、計算まで含めて説明できる教師は、「なかなかやるじゃん！」である。しかし、大学受験には関係ないので、できなくても何も問題ない。そもそも、こんなものは大学1年生レベルの話だが、これを習ったはずの大卒をかなりの人数集めても答えられる人はほとんど含まれてないであろう。