数学デフレスパイラル
金曜日。曇り。
・「リッカチのひ・み・つ」
（井ノ口順一著）（P.160/235読了）
・「幾何学的変分問題」
（西川青季著）読了（P.48/216読了）
・「代数幾何」
（上野健爾著）（P.88/612読了）
・「可換環論の様相」
（新妻弘著）読了（P.101/250読了）
・「わかりやすい類体論と虚数乗法入門」
（繭野孝和著）（P.41/444再読了）
・「絶対ゼータ関数論」
（黒川信重著）（P.42/171読了）
・「これからの幾何学」
（深谷賢治著）読了（祝）
「リッカチのひ・み・つ」は、第11章”リッカチ方程式の解けるひみつ”を読んだ。肝は”Gを連結なリー群とする。Gが可解リー群ならばGにおけるリー型微分方程式は求積できる”というリーの定理にある。可解群は微分ガロア群の理論に発展していく。一方リー群にもリー簡約やらゲージ変換やらが関連してくる。ゲージ理論はよく分からなかったのでググった。結局よく分からなかったので、「接続の微分幾何とゲージ理論」（小林昭七著）「はじめて学ぶリー群」（井ノ口順一著）を読むことにした。またこの辺の平易な解説書として「「標準模型」の宇宙 現代物理の金字塔を楽しむ」（ブルース・シューム著）を読むことにした。以下参考文献。
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場の量子論の概略（２）
ゲージ（物差し）原理とは、時空の座標の各点をごとに、回転や並進といった変換を施しても、その理論の式が変わらない（ゲージ不変）、という要求であり、それを満たす理論全体をゲージ理論という。通常は、単なる対称性を表わす”大局的”変換と区別して、”局所的”変換（変換のパラメーターが座標の関数である場合の変換）を、ゲージ変換という。
EMANの物理学・電磁気学・ゲージ変換
物理学的なゲージ変換は下記が分かりやすいが、私が知りたいこととは違う。
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「幾何学的変分問題」は第１章を読み終えた。リーマン多様体の指数写像の理解に苦しんだが、家に帰って「岩波 数学入門辞典」に分かりやすく書いてあった。以下抜粋。
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リーマン多様体（M,g）の点pにおける接ベクトルVに対して、Mの測地線l:(-a,a)→Mでl(0)=p,(dl/dt)(0)=Vなるものが存在する。lがtまで伸びているとき、Exp_p(V)=l(1)と書く。Exp_pを指数写像と呼ぶ。Vが0に近ければExp_p(V)は定義されている。
例えば、球面S_2=｛(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1 ｝のp=(0,0,1)での接空間をxy平面とみなすとExp_p(x,y)=((xsin r)/r,(ysin r)/r,cos r),r^2=x^2+y^2で与えられる。
指数写像Exp_pを接ベクトル空間T_p(M)の0の近傍Uに制限すると、UとpのMでの近傍との間の可微分同相写像になる。このようにして得られるpの周りの座標を測地座標と呼ぶ。
Mがリーマン多様体として完備であるための必要十分条件は、ある点pにおいてExp_pがT_p(M)全体で定義されることである。Mが完備ならば、すべてのp∈Mにおいて、Exp_pはT_p(M)全体で定義される。
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後、先取りでモース理論の分かりやすい説明を見つけたので以下紹介する。
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高校生にモース理論を語ってみた - comp.tmu.ac.jp
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「代数幾何」は、2.2"アフィンスキーム"を読んだ。ここで前層、層の概念が出てくる。以下参考文献。これを見るとなんとなく前層、層のイメージが湧く。
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数学 前層 イメージ presheaf (ver 1.0)
層 (数学) - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
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「可換環論の様相」は、4.1"局所化"を学んだ。
「わかりやすい類体論と虚数乗法入門」は進捗なし。
「絶対ゼータ関数論」は、2節”表現の絶対ゼータ関数”を読んだ。
「これからの幾何学」はゲージ理論とヤン・ミルズ方程式の何たるかの概要を知るために読んだが良く分からなかったよ。
何か数学を勉強すればするほど、次から次へと課題が見つかり、さらに数学にのめり込むというデフレスパイラルのような現象になりつつある。いくら数学をやっても汲み尽くすことはない
寝る。
