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位相データ解析(ホモロジー)

2017-06-17 00:39:25 | 日記
位相データ解析(ホモロジー)

金曜日。

今日は8時前にアジト。以下読書。
・「よくわかる解析力学」
 (前野昌弘著)(P.138/369読了。)
・「増補版 金融・証券のためのブラック・ショールズ微分方程式」
 (石村貞夫、石村園子著)読了(祝)。

確率過程は面白いが、話題が株に関することになると途端に興味が失せる。コールオプションを知ったって、Meには関係ねぇとか思ってしまう(小島よしおじゃないけど、踊っちゃうよ)。ということで金融工学とかは向かないなあっというのが結論。

ところでYouTubeでホモロジーの物凄く分かりやすい説明の動画があるので紹介したい。
「柔らかいトポロジーの穴から眺める世界」
(平岡裕章先生 サイエンスカフェ第103話
 東北大学原子分子材料科学高等研究機構ー静岡大学)
である。

これによるとホモロジーとは幾何学的対象として多面体を定め、それを鎖複体という代数化を行った後、穴の情報を抽出したものだという。そのためには"穴"を定義せねばならぬのだが、その"穴"を検知するために"境界"に着目する。"境界"を代数的に取り出すために"鎖群"を定義する。

0次元の"鎖群"は頂点(vi)の
C0(K)={Σαi|vi|;αi∈Z2}
1次元の"鎖群"は辺(vivj)の
C1(K)={Σαij|vivj|;αij∈Z2}
2次元の"鎖群"は三角形(vivjvk)の
C2(K)={Σαijk|vivjvk|;αijk∈Z2}

次に"境界作用素"を定義。
辺の境界作用素α1は
α1|vivj|:=|vi|+|vj|
三角形の境界作用素α2は
   α2|vivjvk|:=|vivj|+|vjvk|+|vkvi|
とすると鎖複体
   0ー>C2(K)ーα2ー>C1(K)ーα1ー>C0(K)ー>0
ができる。そして境界作用素より境界を取り出すことが代数的に出来るようになる。穴は境界のないn次元の図形でn+1次元の境界になっていないものと定義できる。
境界のないn次元の図形は
   Ker αn={αn c=0となるc∈C1(K)}
n+1次元の境界は
Im αn={c =αn+1 c′と書けるc∈C1(K)}
と表すことができる。(ちなみにαn・αn+1=0)

だから穴はKer αnに対してIm αnを0にする操作で生き残るものである。これをHn(K)=Ker αn/Im αnと定義しn次元ホモロジーと呼ぶ。

字面だけだと分かりにくいが、動画を見ると分かったような気になる。まるで魔法のようだ。動画ではこの位相データ解析を使用した応用例が紹介されている。

大変勉強になった。後は双対概念であるコホモロジーが分かればいいのだが、これは今後の課題。

過去ホモロジーに関するブログを見返したが、今回が一番まともなブログになっている。全てはMeの至らなさによるものである。

今日は疲れた。寝る。
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