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ゼータ関数と学習理論

2017-07-13 00:00:01 | 日記
ゼータ関数と学習理論

水曜日。

今日はアジトへは行かず、他のことをしようと思いつつ、何か映画でも見ようと思ったのだが、見たい映画も見つからず、結局うだうだと家で過ごすことになった。

で、原点に戻り、そもそも何でゼータ関数の勉強を始めたんだっけと、当初の目的を明らかにするために「代数幾何と学習理論」(渡辺澄夫著)を改めて紐解いた。分からない。。。ググったら、以下の資料が見つかった。
ーーーーー
ベイズ推測の基礎理論
http://watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp/users/swatanab/bayes_math.pdf
ーーーーー
ベイズ推定はちょっと置いておいて、汎化誤差をカルバックライブラ距離で表し試行回数を∞にしたときに、期待値などの値はどれだけの速さで収束するか、そのオーダーがゼータ関数の極(実対数閾値)の値に関係するのだというらしい。カルバックライブラ距離をK(ω)とするとゼータ関数は
 ζ(z)=∫K(ω)^zφ(ω)dω
と表され、K(ω)≧0が実解析関数、φ(ω)≧0が無限回微分可能なら、Re(z)>0で複素関数として正則で複素関数全体に解析接続することができ、その極は全て実数であり、負の有理数であることが分かるという。そのもっとも原点に近い(-λ1)のλ1を実対数閾値と呼ぶらしい。これをもとめることで収束のオーダーが計算できるという。(全て受け売り)

まあ実際に機械学習などで汎化誤差の収束を見積もるときには重要になってくると思われるが、それだけのためにゼータ関数の計算までするか?というのが正直な印象だ。まあそれも実機で機械学習などやったことのないMeの印象であって、現場では切実な問題なのだろう。

ただこれだけの理解では「代数幾何と学習理論」(渡辺澄夫著)の内容を理解できない。もう少し突っ込んで調べることになりそうだ。となるとだ。ゼータ関数は数論のアプローチよりも、やはり解析的なアプローチの方が良いということか。。。もう少し悶々としなければならないな。個人的には数論のアプローチでゼータ関数を抑えておきたいのだが。。。

と言うわけで以下の本を読んでみようかと思う。
・「数学の輝き6素数とゼータ関数」(小山信也著)

取りあえずはここまで。寝る。
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