身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

整数解をもつ連立3元2次方程式を解こう ~2017年度前期日程の一橋大学入試問題

2017年07月31日 | 数学・数学教育
2017年7月31日(月)


  「整数解をもつ連立3元2次方程式を解こう」ということで、2017年度前期日程の一橋大学入試問題を取り上げてみた。
問題自体はそれほど難しいと思わなかった。x,y,zの整数条件とx<=y<=zの条件を最大限利用すれば、無理なく解ける。
  ここの方程式は、文字が3つで式も3つである。だから、x,y,zの整数条件を使わなくとも、解けるだろうと思って試みた。
しかし、うまくいかなかった。具体的に

  x+y+z , xy+yz+zx , xyz

を求めて、一変数の3次方程式に持ち込もうとした。しかし、

  x+y+z=0 , xy+yz+zx=-7

は容易にも求めることができたが、xyzを求めることができなかった。xyzの値が2通りになることはわかっているが、どうしてもうまくい
かなかった。xyzが本当にもとめられるかどうかよくわからないが、もし解けた人がいたらご教唆願いたい。ちなみに

  xyz=±6

となるはずだが・・・・・・。

  とりあえず、x,y,zの整数条件とx<=y<=zの条件を用いた解法を示しておく。

 





(追記)

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2.facebook投稿より
・・・・・・・・・・・・7月30日13時頃投稿・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
私のブログ

>「0は8の倍数にいれない? ~新『小学校学習指導要領解説 算数編』のおかしさ、あほらしさ
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/c78404e78ac96bb6743e345a9155c4bdに対して、和歌山大学准教授の「わさっき』氏――村川猛彦氏(情報システム)が氏のブログ

「0と0の最小公倍数は、最大公約数は?」
http://takexikom.hatenadiary.jp/entry/2017/07/29/060439

で、反論してきました。主張がよくわかりますので、いずれきちんと再反論することにして、

「0と0の最小公倍数は、最大公約数は?」

については

「0と0の最小公倍数及び最大公約数は定義しない」

でいいと思います。そもそも、小学校算数で0の倍数は取り扱えるかも知れませんが、0の約数を取り扱うことは無理です。だから、
0の倍数・0の約数については、教材としてほとんど触れませんでした。村川氏は算数教育「学」者でありませんが、そこらの算数
教育「学」者以上に算数教育について精通している研究者です。いろいろな人にいろいろなところで批判されて逃げ回っている馬鹿
な算数教育「学」者と大違いです。すべてでありませんが、程度の低い算数教育関連の学会なんか、くそくらえです。
 新『小学校学習指導要領解説 算数編』がおかしいのは、次の点です。

①0は偶数である。
②偶数は2で割って割り切れる整数、つまり2の倍数である。
③0は2の倍数に入れない


としているあほらしさ、馬鹿らしさです。③で0は2の倍数とすればいいわけです。しかしなぜか主流派の算数教育「学」者は、
①②③のように考えているのです。
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0と0の最大公約数、最小公倍数はともに0 (積分定数)
2017-07-30 20:26:24
算数教育で0と0の公約数・公倍数に触れないのはいいと思いますが、純粋に数学として考えた場合は、どちらも0という結論に至りました。

https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/891612855476207616
「積分定数」氏へ  0と0の最小公倍数・最大公約数 (Y.H)
2017-07-30 23:18:57
いずれも0と正の整数で考えます。
0と0の公倍数は
 {0}
です。したがって最小公倍数を0とすることもできます。ただ8と6の公倍数
 {0,24,48,・・・・・・}
のときに0を除いて最小公倍数を24としました。整合性を取る意味で、「定義しない」としたのです。

 0と0の公約数について。0の約数は
 {0,1,2,・・・・・・・}
となりますから、0と0の公約数も
 {0,1,2,・・・・}
となります。したがって、最大公約数は存在しないことになります。ただし、ここでの「最大」は自然な数の順序によるものです。整除関係で順序を定義すると0が最大限になりますから、その意味では最大公約数を0とすることができます。8と6の最大公約数2は、普通の順序でも整除関係での順序でも一致します。

 ただ、純粋に数学として考えたとき、どれがいいのかはっきりわかりません。

整除関係による順序
bがaの約数 ⇔ b>=a

「0の約数に0を含めるか」について。
含めるべきです。0を含めないと順序の公理
  反射律 0>=0
が満たされる、0を含む集合Mに整除関係による順序(M,>=)を導入できなくなります。Mは順序集合でなくなります。0の約数に0を含めるのが自然ではないでしょうか。
訂正 (Y.H)
2017-07-31 05:37:48
最大限→最大元
再び、訂正 (Y.H)
2017-08-03 00:55:30
整除関係による順序
bがaの約数 ⇔ b>=a

うっかりしていました。反対でした
(正)bがaの約数 ⇔ a>=b

例 2は4の約数  4>=2

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