身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

0は8の倍数にいれない? ~新「小学校学習指導要領解説 算数編」のおかしさ、あほらしさ

2017年07月24日 | 算数教育・初等理科教育
2017年7月24日(月)


  この5年生教材のテーマも多くの人がTwitter等でつぶやき、私自身もブログに書いてきた。現行の教科書も今度の
新「小学校学習指導要領解説 算数編」も、0を例えば8の倍数に含めていない。正の整数しか扱わないということで
0を8の倍数から除く定義も確かに可能かも知れない。しかし、高校数学や数論から見たら、倍数に0を含めない現行
算数教科書や新「小学校学習指導要領解説 算数編」は、おかしなことになっている。
  そればかりでない。現行算数教科書及び「小学校学習指導要領解説 算数編」は、0を偶数に入れている。偶数・
奇数について記述し、0は2で割り切れるから偶数とするというように0を偶数に入れている。(注)0を偶数に入れ
ていることは、0を2の倍数に含めていることである。これは、「偶数・奇数」の概念と「倍数」の概念との間に整合
性がとれないおかしな、あほらしいこととなっている。つまり、

① 偶数は2で割り切れる整数をいう。
② 0は2で割り切れるから偶数である。したがって、0は2の倍数である。
③ 倍数には0を含めない。したがって、0は2の倍数から除く。


としているのである。私だけでなく誰が見ても、

  「馬鹿ではないか」

と思うであろう。こうしたおかしなことを平気で現行算数教科書及び「小学校学習指導要領解説 算数編」は書いている。
これは、算数教育主流派の考えそのものである。この教材の扱いのおかしさ、あほらしさについては、私もかってブログ
で取り上げた。

    「0は2の倍数である」への私見 ~「metameta」さんのブログを読んで  2015年7月29日
   倍数と約数再び ~正しい理解のために 2016年9月11日

  現行の教科書も今度の新「小学校学習指導要領解説 算数編」も、例えば0は8の倍数にいれないとしている。
しかし数学としては、

   整数a,b,kでa=bKと表されるとき、aはbの倍数、bはaの約数

と定義される。 0=b×0 であるから、

(1)0はすべての整数の倍数
(2)0の約数は、すべての整数


ということになる。偶数が2の倍数ならば、0を偶数に入れる以上当然0は2の倍数になる。0を2の倍数から除く理由
などない。同様に、0をすべての整数の倍数から除く理由などない。算数教育の主流派は、0を倍数から除く理由を最
小公倍数の定義にあると言っているが、そんなことは理由にならない。それより、0をある整数の倍数から除くことの方
が今後の学習に悪い影響を与える。算数教育主流派の考え方のおかしさ、あほらしさ、新「小学校学習指導要領解説 算
数編」の記述のあほらしさがよくわかる。

  思い出したことがある。私はそう言えば一貫して0をある整数の倍数として教えてきたようである。もう10年以上
前になるだろうか、S塾でのことである。まだMさんやIさんが来る前のS塾でのことである。(S塾には2回勤めたが、
その間に3年のブランクがある。)高校生の指導がメインであった私は小学生を教える機会は少なかったが、小学5年生
を担当したことがあった。その当時は算数教育にも小学校教育にもまったく関心がなかったこともあって、算数の教科書
を見ることなどほとんどなかった。高校数学が0をすべての整数の倍数にしていることもあって、当然算数でも0を倍数
に含めるものと思い込んでいた。ずっと、下のように教えてきた。新「小学校学習指導要領解説 算数編」に例としてあ
げてある8と12の倍数を使って、当時の私の教え方を箇条書きにしておこう。集合の記号は、説明のためで児童への指
導にはもちろん使わなかった。

   8の倍数      {0,8,16,24,32,40,48,・・・・・}
  12の倍数      {0,12,24,36,48,・・・・・}
  8と12の公倍数   {0,24、48,72,・・・・・・・}
  8と12の最小公倍数  {24}

  最小公倍数は、必然的に公倍数の中から0を除いて、上の例でいうならば24とした。だいぶたってから教科書を見て、
私の教え方と教科書と違うことに気づいた。そして、高校数学に慣れていた私は、算数の教科書の方が何かおかしいと思っ
た。苦情も来なかったし、児童も何も言わなかったので、その後ももちろん算数教科書に合わせるような教え方をしなかっ
た。塾の責任者が何を言おう(実際には言われなかった)が、素朴におかしいと思ったことを教える気になれなかった。

  当時はあまり考えなかったが、今の私は当時の倍数の教え方でよかったと自信をもって言える。新「小学校学習指導要
領解説 算数編」の記述の方がおかしい。最小公倍数を0とする定義も可能(誰もそのように定義しないであろう)であるが、
この場合はどんな2つ以上の正の整数の最小公倍数も0となって、実り多い結果が得られない。公倍数までは0を含め、最
小公倍数を考えるときに0を除くことにすればいい。すなわち、最小公倍数を次のように定義すれば事足りる。

  最小公倍数は、0を除いた一番小さい公倍数とする

0を8や12の倍数に入れても5年生の生徒に十分理解できる。もっともこのことは後で思ったことであるが・・・・・。

  整序関係について述べた(備考)と新「小学校学習指導要領解説 算数編」の関連部分を引用しておこう。おかしさ、
あほらしさに気づかれると思う。

 (注)
  新「小学校学習指導要領解説 算数編」は明らかに0を整数に含めている。P232に「例えば、0以上の整数全体を
二つに類別する仕方を考えていく」とある。そして、「1,3,5・・・の集合と0,2,4,6の集合にわけられる」と
ある。このことから、「解説」は整数に0を入れているし、偶数に0を含めていることが明確である。
  また新「小学校学習指導要領解説 算数編」が、例えば0は8の倍数にいれていないことも明確である。

整序関係
 
念のために、全順序集合⊂半順序集合である。

新「小学校学習指導要領解説 算数編」 
新「小学校学習指導要領解説 算数編」へのリンク




(新「小学校学習指導要領解説 算数編」の私のブログへのリンク)
  ひどすぎる新「小学校学習指導要領解説 算数編」の2年生の「乗法」についての記述 ~執筆者の数学の能力の欠如を疑う
                                 (2017年6月24日)
  文科省は新『小学校学習指導要領解説 算数編』の出版を止めるべきである  (2017年7月18日)
  0は8の倍数にいれない? ~新「小学校学習指導要領解説 算数編」のおかしさ、あほらしさ (本ブログ)

 (お詫び) 
  新「小学校学習指導要領解説 算数編」を載せるところを現行の「小学校学習指導要領解説 算数編」と入れ替わってい
ました。今は訂正してあります。「Taku」氏の指摘で気づきました。それに伴い、新「小学校学習指導要領解説 算数編」に
対してもう一度読み直し、おかしい点、あほらしい点をはっきりさせました。本文を一部訂正しました。
  お詫びします。






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2 コメント

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小学校学習指導要領解説 (TaKu)
2017-07-23 14:23:59
Y.Hさんが参照しているのは、現行の小学校学習指導要領解説ではないでしょうか。
新「小学校学習指導要領解説 算数編」はこちらから。
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t50/109

新での倍数については、ここで取り上げました。
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t50/104
「Taku」氏へ (Y.H)
2017-07-23 16:45:12
 掲載した「解説」を現行の「解説」と間違えて掲載してしました。後で直しておきます。本文も訂正しておきます。
 新しい「解説」では、明確に0を偶数に入れていますね。
 ご指摘、ありがとうございます。

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