身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

関数の単調性の証明 ~いろいろな方法で示してみよう

2017年04月19日 | 数学・数学教育
2017年4月19日(水)


  関数の単調性の証明は、高校数学では定番である。その結果は、不等式の証明等に利用されている。例えば、数研出版の
高校数学の教科書『数学Ⅲ』では、次の例をあげている。


数研出版の教科書『数学Ⅲ』P201より引用

  このブログで取り上げた問題は、本文でも触れた

  高瀬正仁『古典的難問に学ぶ微分積分』(共立出版、2013)

のなかに記述があった問題である。解法も、ほぼそのまま参考にさせていただいた。不等式を駆使して

  f'(x)>0

を示していくわけである。それと

  f(0)=C>0

がわかれば

  f(x)>0

が言えて、単調増加であることがわかる。そのf'(x)>0 を示すのに、いろいろな方法があるという問題である。

  (解法)(別解1)は難しい問題であるが、高校数学の範囲内で理解できる。(別解2)は、指数関数e^xの冪級数展開(マク
ロ-りン展開)を使うこともあって、高校数学の範囲を超えている。
  以上の前提で読まれると、与えられた関数f(x)が単調増加であることの証明が理解されやすい。








(追記) 

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