身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

中学校1年生で完成する有理数(分数)の演算システム ~(-1)×(-1)=+1を示してみよう

2017年06月18日 | 数学・数学教育
2017年6月18日(日)



  小学校算数での正または0の分数の計算、そして中学校1年生の「正の数・負の数」の単元の学習によって、有理数(分数)の
四則は完成する。中学校1年生の「正の数・負の数」の単元は、それほど難しい単元でないは、多くの生徒が引っ掛かりを持つのは

  どうしてマイナスとマイナスをかけるとプラスになるのか?

ということだろう。こうした素朴な疑問、生徒にとってもやもやとした気持ちをそれなりに解消してやらなければならない。
  この疑問に対して教科書はどのように答えようととしているのか、関連部分を引用しておこう。


大日本図書中学1年生教科書『新版 数学の世界1』 P36より引用

  余談になるが、高校生が虚数を初めて習ったとき

  2乗して―1になる数なんかあるの?

と思うのも中学1年生のこの疑問に似ているように思う。ただし、こちらの疑問解消のための説明は難しい。教員もその疑問に
自ら答えられない場合が多いと思う。
  いずれの疑問に対して、何よりまず教える方がはっきりした自身が納得できる説明を(生徒が理解するかどうかは別として
持ち得ていない場合も多かろう。少なくても教える方が納得する説明は、代数系の中から例えば

  (-1)×(-1)=+1

を導き出すことも1つの解決方法であるある。複素数の方は多元環を用いたケーリー・ハミルトンの複素数構成法を知れば、i^2=-1
がとりあえず理解できるようになる。
  以前も有理数体について整理したが、今回も中学1年生までの数学(分数)を計算システム(代数系)として整理してみた。併せて
その代数系から
  
  (-1)×(-1)=+1

の証明をしてみた。




 (注) 
  一般に、マイナスの数×マイナスの数=プラスの数を示すには、次のようにすればいい。
  有理数体では乗法の結合法則・交換法則が成立するから、かけ算の順序はどのように変えてもいい。
   m>0,n>0として

    (-m)×(-n)={(-1)×m}×{(-1)×n}=(-1)×m×(-1)×n
             =m×n×(-1)×(-1)=m×n×{(-1)×(-1)}
             =m×n×(+1)=m×n>0


で示される。





(追記)

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6月19日(月)・・・・日光・鬼怒川温泉へバス旅行1日目
6月20日(火)・・・・日光・鬼怒川温泉へバス旅行2日目
6月21日(水)・・・・午前中 義父の月命日のお参り
6月22日(木)・・・・午前中 岐阜市北部マーサー21へ
            午後  岐阜学習センターで自習
             3:15~ 「電子と光の波動性・粒子性」ゼミに参加
 6月25日(日)・・・7:00~堤防の草刈り
            午後 八幡神社神事 「虫封じ」


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負数の計算 (積分定数)
2017-06-17 23:49:29
 5ー3、5ー2、5-1、5ー0で数直線のどの位置に来るか、という流れで、5ー(ー1)、5ー(ー2)がどうなるのが自然かを生徒に考えさせると、負数を引くことが正数を足すことになると気づくことが多いです。かけ算も同様。

 色々意味づけは可能だけど、生徒自身が気づけるし、あれこれ誘導尋問も少なくてすみ、今のところ一番シンプルな方法だと思っています。
「積分定数」氏へ (Y.H)
2017-06-18 12:03:55
 いろいろな批判があろうと思いますが、正負の計算で「加減」に関しては指導に数学教育協議会の提唱したトランプを使って指導していました。これは現在も変わりありませんが、理由は①直観的にイメージができやすい、②ゲームの中で自然と計算ができる、③トランプを並べたとき、そのものが代数和で計算できる等の理由です。1時間ほどゲームをすると、直観的にだいたい正負の加法ができるようになります。ただ、数直線・絶対値等はその流れでできませんので、別に扱うことになります。
 乗法については数教協の方法で指導したこともありましたが、速さ×時間=距離までの前段階に時間がかかって、余り効果的でなかったような記憶があります。
 ただ数教協の方法と言っても、その量理論は無視して、指導方法として利用させていただきました。

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