身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

全国学力テスト中学3年の数学Aのあほらしい1問 ~おかしな国立教育政策研究所の見解

2016年09月29日 | 数学・数学教育
2016年9月29日(木)


  以前に全国学力テスト(正確には、「全国学力・学習状況調査」であるが、ここではこの言葉を使う)が実施されていたときに
「積分定数」氏のTwitterに誰かが指摘していたことであった。改めて私も全国学力テスト中学3年の数学Aのある1問を出題した
国立教育政策研究所の担当者にものを申すことにする。
  なお、出題者である国立教育政策研究所教育課程研究センターの資料については

   平成28年度全国学力・学習状況調査の調査問題・正答例・解説資料について

から引用した「全国学力・学習状況調査」は膨大な税金を使った国の教育行政の一環であるから、一部の引用について著作権云々
は考える必要がない。


  さて、そのおかしな問題は、自然数0に関するものである。私のブログ、

   数学のことば2 ~定義と定理(2016年9月4日)

でも触れたことである。その問題を引用しよう。



  この問題は、数学から見たら実にくだらない問題である。0を自然数に含めるかどうかは定義による。
したがって、正答として

  ① イ  ウ  オ

でも

  ② ウ  オ

でもどちらでもいい。しかし、出題者である国立教育政策研究所は②しか正解としか認めていない。その部分を引用しておこう。


平成28年度全国学力・学習状況調査の調査問題解説資料より

  国立教育政策研究所の出題者にとっては、「0は絶対に自然数に入らない」らしい。確かに高校以下の数学では、自然数に0を除
いて定義している。しかし、数学では自然数に0を含めて議論する場合も多い。0を自然数に含めるかどうかは、定義による。はっきり
言って、0を自然数に入れようが入れまいがどちらでもいいのである。一端定義したら、それで議論を進めていく。
  私は昔、いわゆる学業成績が優秀な中学生が集まる学習塾で数学を教えたことがある。優秀な生徒だけに、高校入試の受験勉強
だけでなく、数学の啓蒙書を読んでいる生徒も何人かいた。そうした生徒のひとりから、

  「自然数に0を入れる場合もあるのですか?」

と聞かれたことがあった。それで、

  「0を自然数に入れて数学を進める場合もあるし、0を入れないで数学を進める場合もある。ただ、一端決めたら、関連する議論
はそれで進めていく。」


というような意味のことを答えた記憶がある。そして、

  「中学の数学や高校の数学は、0を自然数に含めていない」

との付け足しをしたようである。当時は私が今ほど数学に詳しくなかったが、それでもペアノの公理は知っていたし、「0は自然数でな
い」という固定概念にとらわれてはいなかった。数学の啓蒙書等を読むような生徒は、0が自然数に入るかどうかが定義によることを直
観的に理解しているのである。そうでないならば、人によって0の扱い方が違うということに気づいていたと思う。そのことを確かめる
ために、私に上のような質問をしたと思われる。彼らがこの問題を見たとき、当時どのように解答しただろうか?

  国立教育政策研究所は、この問題の出題の狙いで次のように述べている。


平成28年度全国学力・学習状況調査の調査問題解説資料より

そして、「学習指導にあたって」で


平成28年度全国学力・学習状況調査の調査問題解説資料より

と説いている。そこで

「0は整数に含まれるが、自然数に含まれないことを確認することが大切である」

と述べている。正直言って、あほかと思った。そして、この問題を出題した所員の数学の能力を疑った。数学にとって、数の認識にとっ
て重要なことは「0が自然数に含まれないことを確認すること」ではない。0が自然数であるかどうかは、どちらでもいい。というより、0を
自然数に入れて議論した方が有用ならば、0を自然数に含めて考えるのである。0を自然数に含めて議論することが余り有用でない場合
は、0を自然数に含めない。「0が自然数であるかどうかは定義による」とは、そういうことである。国立教育政策研究所の言うように決め
つけることは、数の概念の認識にとってマイナスになるといわざるを得ない。こんなあほらしい問題を出した国立教育政策研究所の所
員の見識を疑う。
私に質問してきた中学生のほうが、遙かに数学をみる能力が高い。

  文科省は9月29日に、「全国学力・学習状況調査」を発表する。今まで述べてきたように、あほらしい問題も含まれているので、点数に
一喜一憂する必要がない。まして、学校順位などどうでもいいことである。このような「全国学力・学習状況調査」の結果に振り回されない
で、教員は自己の信じることに自信を持って、しっかり児童生徒を教育してほしいと願っている。





(追記)

1. 9月27日のページごとのアクセス 
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9位 長方形と正方形ふたたび ~小学校2年生の算数 2015-10-09 15 PV
10位 空間曲線3 ~曲率・捩率を求める公 2014-02-27 14 PV
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
  トップページは、4位・2位のブログ記事。
  「数学・数学教育」カテゴリーは、2位・5位・7位・10位である。このカテゴリーへのアクセスが多かった。
  「教員養成・現職研修」のカテゴリーのブログの記事が、3位・6位・8位であった。「特任講師」について述べた6位の記事は、毎回アクセ
スがある。また、3位のブログはMさんが受験した昨年度実施の教員採用試験である。年度は、採用年度で表示するので、試験の実施年度
ではない。誤解されやすいのかも知れない。
  4位の記事は、「学校・大学での出来事、教育問題一般等」のカテゴリーのブログの記事である。
  9位の記事は、「算数教育・初等理科教育」のカテゴリーのブログである。
昨日は、閲覧数 2497PV  訪問者数 457IPV と、多くのアクセス、ありがとう。
  閲覧数が違っていました。訂正しておきました。 (誤)1725PV⇒ (正)2497PV     
           
2.9月28日のFacebook投稿より2題
・・・・・・・・・・・7時30分頃投稿・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
   私は岐聖大教育学部の玉置崇教授を何度か批判してきました。この教授は、講演等を調べていると本当に中教審答申や学習指導要領
(もしくはその解説)を疑わうことを知らない人だと思いました。だから、「江戸しぐさ」も肯定する・・・・。上越教育大学の西川純教授
と重なって見えます。文科省の代理人みたいな人で、学問とは無縁に思えてきます。
 教員養成系教育学部にこのような人が多くなってきたことは、教員養成系教育学部で「もの言わぬ教員づくり」「体制べったりの教員づくり」
が静かに進行しているひとつの表れかも知れません。
 再度踏み込んで、ここら当たりの批判をきちんとしたいと思っています。

・・・・・・・・・・・・8時30分頃投稿・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
  H教授のFacebookからたどって名古屋市の教員採用試験の最終合格発表を見ました。結果について、感じたことが2点あります。
 一つは岐阜県と同様にさらに小学校教員に合格しやすくなったことです。補欠を除いて競争率が2.81倍と近年で最も低くなっています。
そろそろピークだと思いますが、あと数年は小学校教員の大量採用は続くと思います。
 第2に、これは名古屋市独特であるが、逆に中学校は難しくなっています。例えば倍率において、中高数学で12.25倍、比較的合格しや
すい中高理科でも6.57倍となっています。その理由は市立高校が極端に少なく、中学校種・高校校種同時募集するからです。教員採用試験
の教科専門科目も高校校種にあわせる必要性もあって、岐阜県よりかなり難しくなっています。
 名古屋市の教員採用試験の受験者を誰も知りませんが、合格した人はおめでとう!なお、岐阜県の教員採用試験の最終合格者は10月3
日午後4時(インターネットは午後5時)に発表があります。その際には、ブログで触れたいと思います。
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11 コメント

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定義も用語も都合がいいのを採用すればいいだけ (積分定数)
2016-10-02 08:32:46
算数教育に関わっている市川伸一氏も0を自然数に含める流儀を知らなかったそうです。
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/thread/detail/thread_id/58/thread_num/73

以前センター試験を解いていて、「この数列の階差数列を求めよ」という問題に出くわして、戸惑ったことがあります。

an=Sn-Sn-1、というのを頻繁に使っていたので、階差数列が、(n+1項)-(n項)なのか、(n項)-(n-1)項なのか、迷ってしまったのです。

数列に関して言えば、「初項」という言い方も混乱を招くと気づきました。等比数列や等差数列は、nが0や負にも容易に拡張できる。そういう一般的な話をしているときに、初項とはどれを指すのか、とかどーでもいいこと。必要なら「第1項」と言えばいい。私がプライベートに数列を考えるときは初項が第0項のことが多い。
センター試験でも (積分定数)
2016-10-02 08:39:30
センター試験でも0を自然数に含めるかどうかで正解が変わる問題が出されていますね。
http://togetter.com/li/241948

私が問題出すときは、「nは自然数、すなわち、1以上の整数」とか言うようにしています。

センター試験では↓のような問題も出ています。選択肢の番号が0から、というのは好感が持てるけど、用語を問うのはくだらない。
http://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t21/582
学力・学習状況調査 (235dolphin643)
2016-10-02 10:32:25
テストは、「学力・学習状況調査」ですから、中学の数学や理科、国語などで学んだことが、どの程度できているかを確かめるテストです。それは、進んで数学の啓蒙書を読んでいるかどうかを調べるテストではありません。もちろん、そのような数学のテストがあってもいいと思いますが、国による全国一律実施のテストにはならないでしょう。

中1の数学では、自然数は正の整数だとする定義を学習するので、それができているかどうかを、テストでは、確かめているだけです。だから、0を含める定義で答えると点がもらえない、解説で、二重丸をつけた解答以外の解答の可能性に、一重丸も三角もなく空欄となっている(他の正解の可能性はない)のは、当然だという気がします。

中学生対象のテストの解説なのですから、解説者が、自然数に0を含む解答の可能性に言及していなくとも、「0は絶対に自然数に入らない」(絶対にという点が問題)と、考えているかどうかは、わからないのではないでしょうか。

テストは、優秀な生徒を集めた特別な中学ではなく、全国の中学を対象とするテストです。不勉強で、自然数や整数が何であるか、そもそもわかっていない生徒も、一定の割合でいるはずです。どのくらいの割合でいるかを全国テストの実施で調査し、もし多ければ、こういった生徒をできるだけ少なくして、全国の学習レベルを上げるために、テスト結果が教育現場での指導の改良や指導要領の改訂に生かされるのだと思います。

啓蒙書を読んで、中学高校では自然数に0を含めないが、0を自然数に含める定義があることを知った賢い生徒は、中学の定義と違う解答をする恐れはありません。つまり、賢い生徒がこの問題で不利な評価を受けてしまう心配は、ありません。その生徒は賢いので、0を含めた定義で答えれば点を取れないことくらいはわかるからです。
「235dolphin643」氏へ (Y.H)
2016-10-02 16:46:08
 算数であれ、中学数学であれ数学です。まず第一に、中学数学で「0を自然数に含めないない」と決めつけてしまうこと自体が問題だと思います。第二に、「積分定数」氏が述べているように、定義によって違う解答をするような問題を出題することは、くだらないと言うことです。第三に、第一に述べたことに関連しますが、「「0は整数に含まれるが、自然数に含まれないことを確認することが大切である」という国立教育政策研究所の硬直し数学教育に対する考え方です。この3つの問題を批判したのです。
 私はあなたのように、「中1の数学では、自然数は正の整数だとする定義を学習するので、それができているかどうかを、テストでは、確かめているだけです。だから、0を含める定義で答えると点がもらえない、解説で、二重丸をつけた解答以外の解答の可能性に、一重丸も三角もなく空欄となっている(他の正解の可能性はない)のは、当然だという気がします。」とは、思いません。数学では少ないですが、算数では教科書のおかしさは、いろいろなところで指摘されています。教えられていることが本当にそれでいいか問いかけていく姿勢も、大切なことです。

「積分定数」氏へ (Y.H)
2016-10-02 17:17:51
マクロリーン展開で
e^x=1+(1/1!)x+(1/2!)(x^2)+・・・・+(1/n!)(x^n)+・・・・
で、n項の係数
   a_n=1/n!
は、数列です。数列は、自然数Nから実数Rへの写像と考えるます。この場合、
  定数項       a_0=1/0!=1
xの項の係数    a_1=1/1!=1
x^2の項の係数 a_2=1/2!=1/2
   ・・・・・・・・・・
  x^nの項の係数 a_n=1/n!
・・・・・・・・・・・
と数列をn=0,1,2,・・・・と考えた方が便利になります。自然数に0を含めて考えます。この係数のnが項の次数のnに一致して式の表現が簡単になり、また考えやすいからです。私自身も数列については、自然数0から始めます。
 一方、初等整数論のある種の問題を考える(特に乗法的なもの)は、0を自然数から除いて考えた方がいい場合があります。
  要は、どちらでもよいということでしょう。だから、定義そのもによって答えが変わる問題は、出題すべきでないと思います。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 余分なことですが、全国学力テストなど60億円近くもかけて実施する必要がないと思います。税金の無駄使いだと思います。調査目的ならば、抽出で十分だと思います。
 成績の悪い児童を休ませたり(愛知県)、別室で受験させて答えを教えたり(鹿児島県)と、弊害の方が目立ってきています。
    
定義の一貫性 (235dolphin643)
2016-10-02 22:34:38
自然数の定義には、0を含めるものと含めないものがあり、どちらが正しいということはなく、基本的にどちらでもよく、都合や有用性でどちらかを採用すればよい、というのは、基本的に賛成します。
ただし、どちらでもよいとしても、どうでもいいとは言えず、たとえば、-2.1以下の実数と円周率と107を自然数とするというような定義は、恣意的で、受け入れられないでしょう。やはり、自然数に0を含めない数論的な古い伝統とか、含める新しい集合論的な伝統が数学にはあり、有用性だけでなく、伝統や慣習もまた、どちらの定義を採用するかを決めているのではないでしょうか。

中学の数学では、古い伝統に従い、0を含めない定義が採用されています。しかし、だからといって、0を含める定義が存在しないと、教科書に書いてあるわけではなく、「決めつけている」とは言えないのではないでしょうか。古典的な1つの定義が採用されているだけです。だから、「中学数学で「0を自然数に含めないない」と決めつけてしまうこと自体が問題だ」ということには、同意できません。
そして、「一端決めたら、関連する議論はそれで進めていく」とY.Hさんもおっしゃっているように、いったん1つの定義を採用したら、最後まで一貫して、その定義を守らなければならないのですよね。必然性もなく定義を途中で断りなしに変えてしまうと、誤解や混乱が起きます。
0を含まない自然数の定義が、中1時にいったん採用されたなら、大学で0を含む定義が使われる分野を学ぶまでは、その定義を守らなければなりませんし、当然、中3で行われる、中学数学の学習状況を点検するテストでも、守られていなければなりません。そしてまた、そのテストの解説においても、それは貫かれていなければなりません。テストもその解説も、中1で採用された、0を含まない定義を当然の前提として、行われているのです。

次に、「定義によって違う解答をするような問題を出題することは、くだらない」か、ということです。中学のテスト問題で、0を含めた定義を持ち出すと答えが違ってくる問題が「くだらない」とすると、積分定数氏があげている、自然数に0を含めるかどうかで正解が違ってくるセンター入試の問題も、「くだらない」ということになりますが、それでよいのでしょうか。大学で、0を含める定義で出された証明の問題で、0を含めない定義では解けなかったり正解が異なったりするものがあるとき、それだからと言って、くだらない問題だということになるのでしょうか。
ここにあるのは、むしろ、一貫して守るべき定義を守らずに、別の定義を持ちこんだために起きている混乱なのではないでしょうか。中学のテストに関する議論に、Y.Hさん自身が、中学で習わない定義を不用意に持ちこんで、混乱を引き起こしている、ということにすぎないのではないでしょうか。

 最後に、「0は整数に含まれるが、自然数に含まれないことを確認することが大切である」という、国立教育政策研究所の解説者の言葉ですが、これは、2つの定義のうち一方だけが正しいとか、他に定義はないとか言っているのではなく、単に、正の整数(自然数)と0と負の整数の3者から構成されている整数の構成(内訳)をおさえていることは、中学数学では大切だ、ということなのではないかと思います。もし、0を含める定義が中学で採用されていたなら、整数は自然数(正の整数と0)と負の整数からなる、と表現が変わるだけのことです。何を決めつけているというのでしょうか。
「235dolphin643」氏へ (Y.H)
2016-10-03 00:11:56
>-2.1以下の実数と円周率と107を自然数とするというような定義は、恣意的で、受け入れられないでしょう。

  自然数の定義は、0を含めるか含めないかの2通りでしょう。
  整数=自然数(正の整数と0)+負の整数
または
  整数=自然数+0+負の整数
としておけば、十分です。

>「中学数学で「0を自然数に含めないない」と決めつけてしまうこと自体が問題だ」ということには同意できません。

 学習指導要領は、自然数を定義していません。決めつけているのは、自然数に0を含めると×にする国立教育政策研究所の所員です。算数・数学教育の研究者には、信じられないと思われますが、「0を自然数に含めることを知らなかった」という人が多くいます。この研究所のあほらしさは、これだけではありません。

>0を含まない自然数の定義が、中1時にいったん採用されたなら、大学で0を含む定義が使われる分野を学ぶまでは、その定義を守らなければなりません

 賛成しません。どの段階でも、0を自然数に含めた方が有用ならば含めればいいし、含めない方がすっきりする分野では含めなければいいと思います。私は、そのときどきの分野で、両方の定義を使っています。ただし、最初に断りますが・・・・・。
  算数も、中学数学も高校数学も、そして大学数学も同じ数学です。「数学として正しくても、算数(中学・高校数学)では間違いになることもある」ということは絶対あってはならないことです。

>「0は整数に含まれるが、自然数に含まれないことを確認することが大切である」という、国立教育政策研究所の解説者の言葉ですが、これは、2つの定義のうち一方だけが正しいとか、他に定義はないとか言っているのではなく、単に、正の整数(自然数)と0と負の整数の3者から構成されている整数の構成(内訳)をおさえていることは、中学数学では大切だ、ということなのではないかと思います。

国立教育政策研究所の解説者の解説は、そうではありません。断定的です。彼らには、「0は自然数でない」とかたくなに思っているのです。私は、すべてでないが、国立教育政策研究所の研究員を信じていません。自然数のことから離れますが、(今は退官しているかも知れないが)ある研究員は「平行四辺形の面積は底辺✖高さが正しく、高さ✖底辺は誤り」であるとか馬鹿みたいなことを堂々と述べていました。こうした言動をあげるときりがありません。
定義を覚えているかどうかを問うのがくだらない (積分定数)
2016-10-03 05:20:15
(高校数学までの範囲で)「0は自然数ではない」と覚えていることは、数学の能力とは全く関係ない。

自然数の定義ぐらいならまだわかりやすいが、

0は偶数で2で割り切れるが小学校算数では2の倍数ではなくて、中学数学以降だと2の倍数らしい、

とか、

中学数学だと単項式は多項式ではないが、高校数学だと単項式は多項式

とか、

直方体のある辺に平行な辺は、3本か?4本か?(有る辺はその辺自身と平行と言えるのかどうか)

とか、

x^2+3x+7=x^2 は2次方程式なのかどうか、

とか、数学そのものとは関係ないどーでもいい話。

それらを教科書に定義に従ってちゃんと覚えているかどうかなんてことは、

数学の能力とは関係ないどーでもいい話。
テストの目的 (積分定数)
2016-10-03 05:30:29
>余分なことですが、全国学力テストなど60億円近くもかけて実施する必要がないと思います。税金の無駄使いだと思います。調査目的ならば、抽出で十分だと思います。
 成績の悪い児童を休ませたり(愛知県)、別室で受験させて答えを教えたり(鹿児島県)と、弊害の方が目立ってきています。


塾の生徒や保護者にも言うのですが、テストの目的は主に2点。

どれだけ理解しているかを検査する文字通りのテスト。
あるいは、「テストでいい成績を取ろう」と意図して勉強して、結果的にそれで理解を深める。

だから、「定期対策試験」というのは、実力不相応な点数を得ようとすることであり、目的からしたらおかしなことである。

こういう話をするのですが、テストで点を取ることが目的になってしまっているケースが多いようです。それが目的と思っても、そのために勉強して理解が深まるのならいいのですが、教科書のテスト範囲に出ている問題の解き方を覚えて、テストが終わったら忘れる、というパターンが多いようです。

 学テでの、逸脱した行為は、学校側・教師の側もテストというのが何を目的にしているのかを見失っていることを示していると思います。
「積分定数」氏へ (Y.H)
2016-10-03 08:07:14
全国学力テストは、元々日教組つぶしという政治的な意図を持って実施されました。実施を決めた中村成彬文部科学大臣(当時)は、次のように述べています。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 提言した全国学力テストの目的として「競争意識の涵養」を挙げた中山成彬には、全国学力テスト実施の表向きの理由の他に、裏の別の政治的意図があったことが判明する。中山成彬は2008年9月に麻生太郎政権の国土交通相に就任するが、その大臣就任会見で次のように発言する。
  「(大分県教員不正採用事件について)日教組の子どもなんて成績が悪くても先生になるんですよ。だから大分県の学力は低いんだよ。」
 とか、4年前の文科相当時の提言について
  「日教組の強いところは学力が低い、それを調べるため」
と、全国学力テストの実施を提言したことの裏の意図を明言している。そして、
「学力テストを実施する役目は終わった。」
とも言った。中山成彬はこれ以外に様々な失言をし、結局就任まもなく辞任に追い込まれたが、日教組に対する敵視の信念?は変わらなかった。
このような政治的な意図をもって決定された全国学力テストであるが、その後の中央教育審議会(以下「中教審」という)の答申を経て文科省が2007年4月の実施を決定した。全国学力テストはその正式名称が示すように「調査」である。正確には「行政調査」で所轄が行政を行うための資料を獲るため行うもので、行政行為の一種である。文科省は全国学力テスト実施以前にも、「教育課程実施状況調査」という調査を行ってきたが、全国の小中学校を対象に一斉に行う調査は、対象人数も予算規模においても、もはや調査の範囲を超えている。しし、法的には行政調査である。したがって、全国学力テストに参加するかどうかは、つまりその行政調査に対して協力するか否かを決定する権限は各自治体にある。各自治体が協力しなければならない法的義務がない。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 上の文章は、犬山市教育委員会『全国学力テスト、参加しません』の中で犬山市の教育委員で名古屋大学教授(当時)、教育行政学者・中島哲彦氏が書いていることを参考にして私が書いた文章です。
 それはそれとしてテストを見ると、「積分定数」氏の指摘にあるように、「学テでの、逸脱した行為は、学校側・教師の側もテストというのが何を目的にしているのかを見失っていることを示していると思います」だけで済まされない現実になっています。1年前に小5と中2に県教育委員会独自の学力テストを実施したり、市町村教育委員会レベルでも学力テストのまねごとを行っているところがあります。全て、点数を上げるための対策です。学テでの逸脱した行為は氷山の一角だと思いますが、教育委員会レベルでも、点数に過敏になっています。
 
「積分定数」氏へ (Y.H)
2016-10-03 10:06:39
 先ほどのコメントに書いたことを、10月5日付け(10月4日掲載)の次のブログにまとめました。重複がありますが・・・・。

「あまりにも多い全国学力テストの弊害 ~税金の無駄使いで、ランダムな実施校の抽出テストで十分」

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