身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

正五角形とその対角線によって囲まれてできる正五角形との面積の比

2017年06月14日 | 数学・数学教育
2017年6月14日(水)


  正五角形がある。正五角形の対角線を引く。すると、対角線で囲まれた五角形ができる。その五角形が正五角形であることは、
5つの内角をすべて求めると108°になることからわかる。
  今回この正五角形と対角線で囲まれてできる正五角形との面積との比を求めてみようと思った。その方法として、相似と正弦
定理を利用した。中学数学の範囲内で考えようと思ったが、計算が面倒だったので結局高校数学の範囲内(数学Ⅱまで)で解くこと
とした。

  なお、1辺がaの正五角形の面積は、本文の記号で

   △ABC+△ACD+△AED
   
で求めることができる。対角線の長さ

   AC=AD=(1+√5)a/2

で、

   sin36°=√(10-2√5)/4 ・・・ cos36°=(1+√5)/4

となる。


   正五角形ABCDE=1/2・a・(1+√5)a/2・sin36°✕2+1/2・(1+√5)a/2・(1+√5)a/2・sin36°

   ={1/2・a・(1+√5)a/2✕2+1/2・(1+√5)a/2・(1+√5)a/2}
            =(5+3√5)・sin36°・a^2
            =(5+3√5)・√(10-2√5)/4・a^2


  円周上に頂点を持つ正五角形の面積は、半径をrとすると、

    正五角形ABCDE=1/2・r・r・cos72°・5
             =5/2・r^2・{2cos^2(36°)-1}
             =(-5+5√5)/8・r^2


となる。面積の計算もけっこう面倒である。

  最後に大きな正五角形を載せておいた。








(追記)

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2.昨日の一風景
  昨日13日は火曜日。いつものように、岐阜学習センターに出かけた。
  9時過ぎに家を出て、いつも通る道である海津―安八線、本巣縦貫道路を通って北方南小学校北方西小学校前を経てアピタ北方店
へ寄った。北方南小学校の前を通ったのは10時少し前だった。天気がよかったので、3年生か4年生か5年生かよくわからなかっ
たが、児童が運動場の東の端にある鉄ぼうの授業をしていた。Mさんに似たやや背の高い髪の長い教員が指導していた。後ろ姿し
かわからなかったが、そんな印象を持った。
  アピタ北方店から岐阜ふれあい会館に行く途中、Mさんの勤務校前を11時頃に通過した。教壇に立って
授業をしていたMさんの姿が一瞬みえた。Mさんの姿を見るのは、久しぶりである。
岐阜ふれあい会館の駐車場に11時20分頃に入った。駐車場は空いていた。岐阜学習センターの学生控え
室で昼食を済ませたあと、いつものように視聴覚室で自習する。
15時20分頃までに自宅に帰る用事があるので、それを見越して14時過ぎに岐阜学習センターを出た。
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