身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

多項式について ~中学数学であいまいな点をはっきりさせよう

2016年10月09日 | 数学・数学教育
2016年10月9日(土)


  このテーマについては、今までも書いた。しかし、中学数学の基礎的な問題集を見ていると、混乱していると思わざるを得な
いような問題もみられる。そこで、重複をいとわず多項式について整理することとした。

中学数学では、

  単項式・・・・項が1つの式
  多項式・・・・項が2つ以上の式

と定義している。そして、単項式と多項式を排他的に扱っている。これは中学校の学習指導要領(とその解説)や教科書に問題
がある。したがって、下の教科書のQ1のような多項式と単項式に分けさせるようなつまらない問題をやらせている。


大日本図書中学数学教科書『新版数学の世界2』P10

 単項式も含めて多項式を考える私の立場から解答するならば

   多項式・・・(1)x^2+2x-5 (2)5xy (3)1-a^2
   単項式・・・(2)5xy

ということになる。多項式の中で特に単項式をとりあげなければならない場面も少ないので、単項式に特に触れなかった。現在
の数学では、中学数学風の定義による単項式と高校数学の整式(=単項式+多項式)の言葉は死語になりつつある。かって、「積
分定数」氏がある教科書会社に

「2xは、単項式ですか、多項式ですか?2x+0は、単項式ですか、多項式ですか?」  
 
というような質問をしたと書いてあった。そのときの教科書会社の回答が、

 「2xは単項式、2x+0は多項式」

だったとのこと。私にはこの教科書会社の回答の意味がよくわからないが、両方とも多項式でいいと思う。単項式と多項式を排他
的に扱うと、より進んだ数学で例えば「多項式環」を考えるときに困った事態が生ずる。そうしたこともあって、単項式⊂多項式
とするのが常識である。ここでも、多項式2xのような言い方をする。


  多項式と単項式の区別以外に、多項式に関して定数項の係数の問題がある。それは、

「多項式 7(定数項)の係数は、いくつですか?」

という質問である。答えは7になる。テストによっては、定数項の係数を書く部分に斜線が入れてあることもある。また、定数項の
係数がないと思っている人もかなり見られる。定数項は、(a_n)(x^0)であるから、係数はa_nである。

  こうした疑問に答えるために、一度多項式に関連する部分をきちんと定義しておく必要があった。そして、その定義から疑問に
答えることでもって、明確な解答をしておく必要性を感じた。そこで、高校数学風に定義を書いてみた。言っていることは簡単で、
次の3つである。

①例えば、3xは、多項式といってよい。「単項式」ということばを使うならば 単項式⊂多項式である。
②定数項 7の係数は7である。定数項に係数がないというのは、あやまりである。
③0以外の定数項の次数は、0次である。しかし、定数項0の次数は、ー∞と定義する。







(追記)

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2.昨日の一風景
  昨日(8日)は、祭の準備。午前8時から役員と私の属している西組で、行った。といっても、雨降りだったから、拝殿と社務所の中
だけしかできなかった。
 明日の天気は、どうなるだろうか。




拝殿の中の神輿

3.今週の予定
  今週は、忙しそう。
10月 9日(日)終日・・・7:00~準備
              9:00~祭
              終了後 後かたづけ
                  宮守り
10月11日(火)午前・・・・岐阜市へ
         午後・・・・岐阜学習センターで自習
       ※天候次第で、取りやめる場合もある。
10月12日(水)午前・・・・義父の命日のお参り
10月13日(木)午前・・・・岐阜市マーサ21の丸善他(ランドセル等を見る)
         午後・・・・岐阜学習センターで自習
               3:15~「相対論Ⅱ」ゼミ初日
10月14日(金)午前・・・・海津市医師会病院で人間ドック
10月16日(日) ・・・午前7時から草刈り・美化運動)

  
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7 コメント

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教科書会社とのやりとり (積分定数)
2016-10-10 08:21:54
https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/633073938331930624?lang=ja

論点はいくつかあって、単項式が多項式ではない、という「正方形は長方形ではない」問題以外に、

それ自体に関しての名称と、表記法依存の名称との混乱があります。教科書会社が2x+0と2xが全く同じもの、という認識を持てないのは、このためでしょう。

これを見ると、数の分類でも同様の混乱があるようですね。
http://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/7c9c0698ad83a2102a36459671d0b353

私は小数とか分数とか言うのは、数そのものの分類ではなく、表記法の名称かと思っていましたが、これを見ると、1/2は有限小数となるようです。また、整数と分数が分かれているけど、6/2は分数ではないのでしょうかね?1/√2 は無理数だけど、そうすると分数ではないのか?とか突っ込みどころ満載。


中学数学教科書では文字式の導入において、「1xとは書かないでxと書く」というような説明があり、文字通り受け取るなら1xという表記を禁止していることになります。

そうすると、「x^2+3x+5の2次の項の係数は?」と問われたら困ってしまうかもしれません。

「最終的な表記においては、なる別簡潔に書く」としておけば、1xはxと同じなので、簡潔な後者のような記述にすることが多い、というだけであって、1xという表記を禁止しているわけではない、となるのですが。

「(2,6」)と(4,12)を通る1次式を求めよ」というような問題で、y=3x+0とすると減点、というような事例を聞いたことがあります。

当時は、「なるべく簡潔な表記が望ましいから定数項の0は蛇足であって、減点も仕方ないかな」と思っていましたが、

 もしかしたら教える側が、3x+0という表記があり得ない、と認識しているのでは?

 と、教科書会社とのやりとりを聞いて不安になりました。



訂正 (積分定数)
2016-10-10 08:23:33
なる別簡潔に書く → なるべく簡潔に書く
「積分定数」氏へ (Y.H)
2016-10-10 08:45:47
>「最終的な表記においては、なる別簡潔に書く」
>1xという表記を禁止しているわけではない

  私も、氏と同じ認識でいます。しかし、実際中学校の先生の多くは、生徒がテストで1xと書くとすべてバツにしているようです。それは、「最終的な表記においては、なる別簡潔に書く」という認識でなく、始めから「1xはxと書かなければならない」との認識だと思います。
  式のことではありませんが、ベクトル空間の公理で体Kの単位元1を強調するために、
  1v=v  1∈K、v∈V
というのがあります。また、xの係数を意識させるために
  x=1x
と書くこともあります。「最終的な表記においては、なる別簡潔に書く」が原則ですが、ときどきの目的に応じて
柔軟な表記法を使うことは、よくあることだと思います。
 
「積分定数」氏へ (Y.H)
2016-10-10 09:05:15
 そのままカット&コピーしてしまいましたので、同じ誤りをしました。
  なる別簡潔に書く → なるべく簡潔に書く
Unknown (積分定数)
2016-10-10 12:32:16
 分数は可約分数ではなく既約分数、なども、教科書では「そうすることが多い」「そうしておくことが普通」程度の記述ですが、「そうでないとならない」とされていることが多いようです。

 分母の有理化は、そのような記述すらなく、1/√2の近似値を計算するのに1÷1.414よりも、1.414÷2の方が計算が楽なので、そういう場合は分母を有理化した方がいい、程度のことなのに、「問題文に明示されていなくても有理化しないとバツ」としている中学数学教師もいます。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=74299065&comm_id=788787&page=all


 そうすると、1xだとか、3x+0だとかの減点の意味が「間違いじゃないけど、簡潔な表記の方が望ましいから」程度の話ではなく、「そもそも間違い」と認識しているのかもしれませんね。

 しかしもしそうだとしたら、かなりうんざりしますが。
Unknown (積分定数)
2016-10-10 12:38:36
分数の割り算が曖昧な子がいました。2/3mのひもを2等分したら?というような話から、4/5÷2=2/5という具合に、分子が偶数の分数を2で割るときは分子を半分にすればいいと気づきました。3/5÷2を出したらしばらく考えてから、1.5/5としました。「大正解」とした上で、「ではそれを整数/整数で表すにはどうすればいいかな?」と問いかけたら、3/10と正解を出しました。

 1.5/5 という表記自体を”違法”と思っている人は、その子が1.5/5として分数の割り算の概念を習得しつつあることよりも、「間違った記述」の方に目が行きそこの矯正に熱心になりそうな気がします。
「積分定数」氏へ (Y.H)
2016-10-10 16:22:06
>既約分数と可約分数
  
  全国学力テストは、約分してなくても正解としていました。この点は、中学校教員のほうがテストで×にする場合が多いと思っています。

  数として、「分数は有理数と同じ意味」に使う場合があります。

>分母の有理化
  中学校のテストで有理化していないと、ほとんど×になっているようです。有理化しなければならないという中学校教員は、多いと思います。
  私は昨年度の高校の非常勤講師の経験では、テストでいい点数をとる生徒の方が有理化することにこだわっていたように思いました。中学校教育の成果?。
  分母の有理化の必要性は、有理化する問題以外はその都度都合の良さで決めればいいと思います。ある種の極限を求める問題では、今度は分子の有理化
をする必要があります。「分母の有理化は絶対必要」
という硬直した考え方では、より進んだ数学を学ぶ際に障害になると思います。

>分子が偶数の分数を2で割るときは分子を半分にすればいいと気づきました

  自由に考えさせるから、このようなことに気づくのですね。素晴らしいと思います。その後の、、「ではそれを整数/整数で表すにはどうすればいいかな?」と問いかけにも、感心しました。

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