身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

数学的帰納法による証明 ~2017年度前期日程の愛知教育大学教育学部入試問題2題

2017年07月01日 | 数学・数学教育
2017年7月1日(土)


  大学の2次試験の入試問題で、「〇〇を数学的帰納法を用いて証明せよ」と出題されることは、それほど多くない。
今度取り上げた愛知教育大学は、その中で数少ない大学にひとつ一つである。数学担当の教員のなかに、数学的帰納
法の証明は大切だと思っている人がいるのかも知れない。
  それはそれといて、愛知教育大学教育学部の課程、専修・専攻の違う受験生に対して出題された数学的帰納法を
使って証明する問題2問を紹介しておこう。いずれも基本的な問題で、難しくない。数学的帰納法による証明法には、
いろいろなバラエティがあるが、愛知教育大学の入試問題は最もオーソドックなものである。数学的帰納法は、よく
将棋のドミノ倒しにたとえられる。とにかく、全部倒れることを言えばいい。たとえば、オーソドックな数学的帰納
法の変形であるが、次の場合もときどき使われる。

Ⅰ n=1,n=2のとき成立する
Ⅱ n=k,n=k+1 のときの成立を仮定して、n=k+2のとき成立することを示す
Ⅲ 全ての自然数で成立する

  Ⅱでn=k,n=k+1 のときの成立⇒n=k+2のとき成立が示されたとする。Ⅰよりn=1,n=2が成立するからn=3のとき成立す
ることがわかる。Ⅱより、n=2,n=3のとき成立するからn=4のときも成立することがわかる。・・・・・・・・このよう
にして、結局全ての自然数nで成立することがわかる。そう言えば、今年度の前期日程の東京大学理系の入試問題で、
4の(3)に上の数学的帰納法の変種を使って解く問題があった。
  数学的帰納法は、自然数の構造に密着した証明法である。「帰納法」と名前がついているが、もちろん演繹法であ
る。証明すべきことを帰納的な操作で見いだすことから「帰納法」という名前がついたのかも知れない。いずれにして
も、結論がわかっていないと数学的帰納法は使えない。逆に、実験や推察等何らかの方法で命題を見つけたとき、それ
が自然数に関するものならば証明の有力な方法でもある。

  愛知教育大学の入試問題、2題を解いてみよう。








(追記)

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2.今週の予定
7月2日(日)・・・ 7:00~ 堤防の草刈り(前の週の中止を受けて)
          10:00~ 藤田敏彦講演会
7月4日(火)・・・午前中 北方町アピタまたはマーサ-21
          午後  岐阜学習センター
7月6日(木)・・・午前中 北方町アピタまたはマーサ-21
          午後  岐阜学習センター
            15:15~ 「光と電子の波動性・粒子性」のゼミ


3.facebook投稿から ~6月30日16時30分頃
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 小林永児(附属小学校教諭)・鈴木昭裕(教育学部教授)・玉置崇(教育学部教授)・芳賀高洋(教育学部准教授)共著
  『若い教師のための深い学びが生まれる 算数授業 ベテランの授業教育研究者が語る』 (プレネクサス 2017.4)
をブログで批判してきました。ある程度は予想していましたが、あんなにひどい内容だとは思いませんでした。(特に、授業
とその算数教育・数学教育の視点からの解説)数学からみたときの誤りもあり、筑波系や主流派算数教育の馬鹿らしさを再認
識しただけでした。あのような内容ならば、恥ずかしいから出版しなかった方がよかったに・・・と、正直思いました。
 今後、理科と道徳について出す計画があるとか・・・。道徳の授業なんかくだらないからどうでもいいですが、理科教育に
ついては、授業・解説とも興味があります。寺田 光宏氏(教育学部教授)の解説が中心になると思います。私とは考え方は違
うかも知れませんが、私は寺田氏の論文を読んだりしてその研究手法を高く評価しています。(もちろん、専門外だから内容に
ついて十分理解しているわけでありませんが、論文を読んでそこから何かを学びたいという気持ちはあります。)算数のような
くだらない内容にならないだろうと、期待しています。ふりこの部分についてはどう記述されるのか?も興味があります。
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 (関連ブログへのリンク) ・・・参照
  岐阜聖徳学園大学附属小学校の算数教育を検討する1 ~子どもに等分除・包含除の区別を押しつけようとする最低な授業と最低な解説1
      はじめに (2017年5月1日)
  岐阜聖徳学園大学附属小学校の算数教育を検討する1 ~子どもに等分除・包含除の区別を押しつけようとする最低な授業と最低な解説2
      小林永児教諭の算数授業とその授業への批判 (2017年5月2日)
  岐阜聖徳学園大学附属小学校の算数教育を検討する1 ~子どもに等分除・包含除の区別を押しつけようとする最低な授業と最低な解説3
      鈴木昭裕教授のあほらしい解説 (2017年5月3日)
  岐阜聖徳学園大学附属小学校の算数教育を検討する2 ~比に対する授業者の認識の欠如 (2017年5月8日)
  岐阜聖徳学園大学附属小学校の算数教育を検討する3 ~平行線の定義に関する主流派そのものの実践である小林教諭の授業 
      (2017年5月16日)
  岐阜聖徳学園大学附属小学校の算数教育を検討する3 ~平行線の定義に関する鈴木昭裕教授の見解に異議 (2017年6月17日)
  岐阜聖徳学園大学附属小学校の算数教育を検討する4 ~そのまとめ (2017年6月27日)  
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