身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

零因子を持たない可換環、「整域」の概念

2018年02月19日 | 数学・数学教育
2018年2月19日(月)


  整数についての学習・・・概念や加法・減法・乗法・除法(商が整数のとき)は小学校6年間、そして中学1年生の「正負の数」
で完成する。整数の集合は

  加法について閉じている。(減法についても閉じている)
  乗法について閉じている。(除法については閉じていない)

ことを学ぶ。そして、計算のきまりとして

  加法・乗法の結合法則
  加法・乗法の交換法則
  分配法則

の成立を確かめる。

  本ブログではそうした整数の集合をモデルにして構成された「整域」の概念について述べてみた。

  整域とは零因子を持たない可換環(自明環を除く)のことをいう

といったように定義される。そのために、まず行列環を用いて零因子について記述した。n次正方行列の零因子の作り方につい
ては以前にもブログに書いたことがある。行列環に零因子が存在することの確かめをしてみた。以前のブログの繰り返しにな
るが、大事なことなので再度記載した。n次正方行列全体の集合L(n,R)はもちろん整域でない。可換環でもないし、なにより零因
子が存在する。

  零因子を持たない可換環、「整域」の概念について、まとめておこう。








(追記)

1.先週1週間のアクセス
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期間 2018.02.11 〜 02.17、閲覧数 15,904PV 、訪問者数 5,050IP、順位 492 位 / 2,809,160ブログ
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2.昨日の一風景
  今日は地区に割り振りされた確定申告の日だったので午前中に申告書を書き、午後2時30分過ぎに海津市役所でおこなわれて
いる税務相談と申告書提出の会場に行った。30分ほど待って、順番になったので申告会場に呼ばれた。
  相談に当たった市役所の税務課の職員が大変丁寧に指導してくれたので、スムーズに申告ができた。農業所得等があるので、けっ
こう時間がかかった。



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自然数の約数の問題 ~2017年度前期課程の東京工業大学入試問題より

2018年02月17日 | 数学・数学教育
2018年2月17日(土)


  昨日のブログ

   定積分で定義された関数の最大値・最小値 ~2017年度前期課程の東京工業大学入試問題より (2017年2月16日)

につづいて、2017年度前期日程の東京工業大学入試問題よりもう1問とりあげよう。正の整数Nの約数に関する問題である。

(ⅰ) Nには12個の約数がある。
(ⅱ) 12はNの約数のうち、小さい方から7番目の約数である。

という二つの条件から、Nを決定していく問題である。大学入試問題としてでなく、難しいが中学校の入試問題としても成立する
問題かも知れない。また、クイズとして考えても、おもしろい問題だとの印象を持った。


  まず、12はNの約数であるから、12の約数である

  1,2,3,4,6,12はNの約数

である。12が条件(ⅱ)より7番目の約数であるから、12未満の

  5,7,8,9,10,11

のうち、ただ一つがNの約数であることがわかる。このことを手がかりとして、Nを決めていくことになる。
  本文の(解法)と重複するが、5と10はNの約数でないことはすぐ分かる。なぜならば、

  12=2×2×3

であるから、5と10のどちらか一方がNの約数であるとすると、もう一方もNの約数になってしまう。

  N=60=(2×2×3)×5=2×2×3×5
  N=120=(2×2×3)×(2×5)=2×2×2×3×5

からわかる。そうすると、12は8番目の約数となって条件(ⅱ)に反する。N=60、120は条件を満たさないわけである。

  このように、12の約数でないもう1つの12未満のNの約数を決めていくわけである。
  私は、入試問題を解くというより、Nを決定するクイズとして考えた。いろいろとためしてみて、おもしろいと思った。






(追記)

1.今週(18日以降)の予定
2月18日(日)・・・10:00~親戚の7回忌法事
2月18日(月)・・・午後 確定申告(海津市役所)
2月20日(火)・・・午前中 アピタ北方店
           午後 放送大学岐阜学習センターで自習
2月22日(木)・・・午前中 アピタ北方店
           午後  岐阜学習センターで自習  
             15:15~ 『光と電子の波動性・粒子性』ゼミに参加(後期、最後のゼミ)


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定積分で定義された関数の最大値・最小値 ~2017年度前期課程の東京工業大学入試問題より

2018年02月16日 | 数学・数学教育
2018年2月16日(金)


  2017年度前期課程の東京工業大学入試問題のなかから、定積分で定義された関数の最大値・最小値を求める問題
を紹介する。東京工業大学の数学の入試問題は、難しいとの評判である。全問5問で、試験時間も180分と長い。1問
36分で解く計算になるが、問題をみただけで直ぐに解法の方針が立つ東工大の入試問題は少なく、それなりに考えなけ
ればならない。そして、計算も多い。次回に、もう1問取り上げたいと思う。

  さて、今回紹介する問題のポイントは、次の2点であろう。

① f(x+π)=f(x)が成り立つから、f(x)は基本周期πの周期関数である。したがって、最小値・最大値は
 -π/2<=x<=π/2で考えればいいということ

② f'(x)の符号は、|cos x|-|sin x|の符号と同じであること。

この2点に気をつけて、丁寧に計算していけば何とかなるであろう。

  高校生は、絶対値記号の取り扱いが得意でない。特に被積分関数に絶対値の入った関数があると、積分ができなくな
る高校生も多い。積分範囲に気をつけること、絶対値内の正負などに注意を払って絶対値記号を外していく。また、本問
題では

  cos^2 (x)=|cos x|^2  , sin^2(x)=|sin x|^2

と言うあたりまえのことに気づくことも必要になる。

なお、計算結果を確かめるために

  旺文社『2018年受験用 全国大学入試問題正解 数学 国公立大学編』

を参考にした。








(追記)

1.昨日の一風景
  昨日は木曜日で、ゼミのある日だった。2月1日(木)のゼミはインフルエンザのために欠席したので、久しぶりのゼミ出席であ
る。ゼミは昨日と来週で、2学期(後期)分のすべてが終了する。
  それで、いつものように午前中に岐阜方面へ、午後に岐阜学習センターに出かけた。岐阜へ行く道は、北方南小学校までは、
最近はほぼ同じ道を通っている。
  朝8時頃40分頃に自宅を出て、県道を海津市――輪之内町――安八町――大垣市墨俣町――瑞穂市穂積町を経て北方町
に入る。高屋伊勢田東交差点を北進すると、北方南小学校の東側に出る。大体1時間ほどで北方南小学校に着く。その後、
その東側の道を北進して岐阜市北西部に入り、五反田の交差点を東進して岐阜環状線経由でマーサー21へ行った。最近は
マーサー21へ行くのに、この道を通ることにしている。到着は、ちょうど10時であった。
  マーサー21の丸善でいろいろな本を見て、11時まで過ごした。マーサー21の1階のすし店で昼食を取ってから、北方町
経由でOKBふれあい会館に向かった。ふれあい会館には、ちょうど12時に到着した。
  マーサー21の行き9時40分過ぎと帰り11時40分頃に、Mさんの勤務校の運動場の南側の道を通った。教室にカー
テンがかかっていなかったので、いずれもMさんが教壇に立って授業をしている姿が目に留まった。Mさんを見るのは1週間
ぶりか?

  岐阜学習センターでパソコンを借りて、このブログの(追記)部分を作成。その後、視聴覚室で2018年度前期の履修科
目のDVDを見てみた。授業の感じをつかむためである。
  15時15分から7階の研修室で『光と電子の波動性・粒子性』のゼミに参加。
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放送大学教養学部への3年次編入学の手続きが完了する ~手軽なネット出願

2018年02月15日 | 数学・数学教育
2018年2月15日(木)


  2017年度2学期で放送大学の学籍がなくなる学生を対象とした2018年度1学期からの「継続入学」の手続きが、この2月
13日(火)午前9時よりインターネット上(「システムWAKABA」)で開始された。併せて、2018年度1学期の放送授業・オンラ
イン授業・面接授業の登録も開始された。「継続入学」の手続きと同時に面接授業が登録できるのは、2月18日から今月いっぱ
いのこの期間しかできないので、私は2月13日に登録することとした。以前にもブログで書いてきたように、私はこの4月から
放送大学教養学部の自然と環境コースの全科履修生として3年次に編入学することを決め、手続きをネット上からおこなった。
インターネット出願は、大変スムーズであった。

  ネット上の入学手続きは、コンピューターの画面の指示に従っていくだけだから、簡単であった。入学手続きの入力が完了す
ると、2018年度1学期の放送授業・オンライン授業・面接授業の登録画面に変わる。こちらは科目名があらかじめすべて表示
されるので、受講したい科目にレ点をつけていくだけである。以前にも記したが、初年度の1学期は次の科目の登録をおこなった。

  放送授業 ・・・(注)
   太陽と太陽系の科学'18 (メイン)
   入門微分積分'16
   遠隔学習のためのパソコン活用'17
   自然科学はじめの一歩'15           (「英語事始め'17」より変更 2月14日)
   現代日本の教師――仕事と役割――'15       (追加  2月14日)

   面接授業
   岐阜の歴史――信長&鵜飼い――   (岐阜市歴史博物館) 5月12日(土)、5月13日(日)(メイン) 
   再生可能なエネルギーの有効活用  (岐阜学習センター) 7月14日(土)、7月15日(日)

  受講科目の登録後、学生証用の写真を指定箇所に貼り付けてすべて手続きは完了した。

  入学手続きのほとんどすべてがネット上でできるとは、便利になったものである。ついでながら放送大学の場合は、テレビ・ラ
ジオの放送授業のほとんどがインターネット配信されている。実際に決まった時間にテレビやラジオ放送を見たり聴いたりする必
要がない。自宅にいながら、いつでも講義が聴けるわけである。人との触れあいの面を別にすれば、通信制課程の大学も通学制
課程の大学と比べても学習環境は遜色のないものになってきていると思う。ただし、単位修得や卒業をめざす場合は、通信制大
学の方が難しい。通信制大学の正課生の卒業率は、どこの大学も極めて低い。もっとも、放送大学の場合は全科履修生のかなり
の人が卒業を目ざしているわけでないので、卒業率は決して高くない。放送大学の場合は、全科履修生でもその学期に履修登録
した単位分だけ授業料を払うという他の通信制大学の正課生の制度とかなり異なっている。このことが卒業を目指さなくても、全科
履修生として登録しやすいという側面もある。

  登録後、編入学のための放送大学独自の様式による出身大学の在籍期間及び成績証明書と大学入学資格の確認ために高等
学校の卒業証書のコピーを同封して、郵送にて放送大学に送付した。高等学校の卒業証書は直ぐに見つけることができたが、見る
のは48年ぶりである。
  3年次編入であるから、在籍期間が最低2年・最長6年となる。いままで選科履修生として毎年継続手続きをして入学費を納めて
いたが、全科履修生となることで最長6年間は手続きが不要となる。入学費もトータルで考えると、全科履修生としての入学の方が
安くなる。
  選科履修生として、私は現在29単位修得している。3年次編入時に62単位すべてが一括認定されたとしたら、計91単位取得し
たことになる。卒業のための単位数が124単位以上であるから、入学時の未習得単位数は33単位となる。卒業を目指すわけでない
が、卒業までの残りの単位数を考えると、どう考えても6年以内に卒業となってしまうだろう。できるだけ長く在学するつもりでいる。た
だ、再入学も可能だから卒業のことは考えずに、認知症防止の意味もあって生涯学習を続けていきたいと思っている。


  昨日14日の0時から「システムWAKABA」上で、先月24日に受験した単位認定試験の結果が発表された。単位認定試験の結
果が発表される毎学期のこの時期は、アクセスが集中して「システムWAKABA」にログインできないことが多かった。今回は13日
の20時から翌朝の9時まで「システムWAKABA」への閲覧が1回当たり5分にアクセス制限がなされたが、状況は以前と変わらな
かった。成績表示の画面から先に進めずに、あえなく5分でタイムアウト。何度かトライして、やっと14日(水)の11時頃成績の確認
ができた。

  できたという確信が持てなかった『はじめての気象学'15』も含めて、単位認定試験を受けた4科目8単位はすべて満足できる成
績で合格していた。面接授業は入院のために参加できなかった1科目を除いて『光と電子の波動性・粒子性』の1単位は合格していた。
これまでの選科履修生としての単位を含めて、学校教育法の「履修証明制度」に対応した放送大学の「科目群履修認証制度」(放送大
学エクスパート)のひとつである「宇宙・地球科学」プランの取得条件をすぺて満たすことになった。単位修得の確認後に昨日14日付
けで、申請書と手数料(郵便定額小為替証書)とを郵送した。認証状・証明書・カードが送られてくるらしいが、どのようなものか興味が
あったので選科履修生のまとめとして取得することにしたわけである。今後は受講したい科目とかなり重複する「社会数学」プランを在
学中に取得してみようと思う。


  岐阜学習センターで開かれれているゼミ『光と電子の波動性・粒子性』の同じ仲間がすべて全科履修生であることもあって、私も全
科履修生として入学することに決めた。通信制であるから大学に入学したという感覚はないが、以前の選科履修生のように好きな科目、
受講したい科目だけを履修していこうと思う。


(注)
  放送大学エクスパートの取得の関係で、「英語事始め'17」から。「自然科学はじめの一歩'15」に変更した。
  以前から興味のあった「現代日本の教師――仕事と役割――'15 」を追加した。
  
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1辺aの正四面体の底面積・高さ・体積

2018年02月14日 | 数学・数学教育
2018年2月14日(水)


  1辺aの正四面体の底面積・高さ・体積について、再度整理しておこうと思う。基本的に中学数学の範囲内で計算できる。
  本ブログは、

   三角錐の体積に関するある私立中学校の入試問題 (2017年1月5日)
   ある三角すいの一つの高さを求める問題を解く (2018年2月8日)  

と深い関係がある。というより、正四面体は三角すいであるから2つのブログで述べたことが適用される。

  1辺aの正四面体の体積は、

  正四面体の1つの頂点から底面に下した垂線の脚は、底面の重心を通る

という定理から、三平方の定理を用いて高さが求まる。これより、正四面体の体積を計算するのが普通の方法である。しかし、ここでは

  立方体の四隅から三角すいを切り取った残りの立体が正四面体

である事実を用いて、
  
  正四面体の体積は、もとの立方体の1/3である

ことから求めた。この方法がわかりやすく、計算も簡単だからである。








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