（その１）タイの小学生向けの模試等へ出題される、解答パターンを知らないと解けない計算問題はこれ。

先日の記事受験戦争 もう一つの情報戦！で紹介した政府系の統一試験や業者の模擬試験へは、解答パターンを知らないと小学生では解けないような計算問題が出題される。娘と算数のギフテッド問題集を解きながら、これはと思った問題を紹介していきたい。
算数が嫌いな私が書いているので、書き間違いや計算間違いがあるかも知れないし、無駄が多い方法かも知れない。見つけられたら指摘して頂くと非常に嬉しい。

先ずは最初のパターン。
頭と尻尾を残して共食い。
分母が2,6,12,20,30,42のどこかで始まり、90,9900,999000等のように9と0が同じ個数の数で終わるのが多い。
1/2+1/6+1/12+…+1/9900
=(1*1/2)+(1/2*1/3)+(1/3*1/4)+…+(1/99*1/100)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4………-1/99)+(1/99-1/100)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4………-1/99)+(1/99 -1/100)
=1-1/100
=99/100

２番目のパターン
数列を利用して解く。
(1-1/2)(1-1/3)(1-1/4)…(1-1/50)
=(1/2)(2/3)(3/4)…(49/50)
上の掛け算のn番目に掛ける値はn/n+1で表される。
上の式でn=1だけの時
1/2
n=1～2を計算した時
1/2*2/3=1/3
n=1～3を計算した時
1/2*2/3*3/4=1/4
答えを並べると
1/2 1/3 1/4であり、n番目までの掛け算の結果は1/n+1となるのが判る。
掛け算のn番目に掛ける値はn/n+1で表され、最後に掛ける数は49/50なので、n=49。
n番目までの掛け算の結果は1/n+1なので、n=49までの計算結果は1/50となる。
答え1/50

同じパターンで解ける問題。
(1+1/2)(1-1/2)(1+1/3)(1-1/3)(1+1/4)(1-1/4)…(1+1/50)(1-1/50)
=(3/2)(1/2)(4/3)(2/3)(5/4)(3/4)…(51/50)(49/50)
上の掛け算の2n番目と2n+1番目に掛ける値の式は(n+2/n+1)(n/n+1)で表される。
上の式でn=1だけの時
(1+1/2)(1-1/2)=(3/2)(1/2)=3/4
n=1～2を計算した時
(1+1/2)(1-1/2)(1+1/3)(1-1/3)=(3/2)(1/2)(4/3)(2/3)=(3/4)(8/9)=2/3=4/6
n=1～3を計算した時
(1+1/2)(1-1/2)(1+1/3)(1-1/3)(1+1/4)(1-1/4)=(3/2)(1/2)(4/3)(2/3)(5/4)(3/4)
=(2/3)(5/4)(3/4)=5/8
答えを並べると3/4,4/6,5/8・・・であり、
分子は3,4,5・・・となるので3+(n-1)=n+2で表され、
分母は4,6,8・・・となるので4+2(n-1)=2n+2で表される。
掛け算の2n番目と2n+1番目に掛ける値の式は(n+2/n+1)(n/n+1)表され、
最後に掛ける数は(51/50)(49/50)なので、n=49。
n番目までの掛け算の結果はn+2/2n+2なので、n=49までの計算結果は51/100となる。
答え51/100

今日の最後。３番目のパターン。
1+2/3+4/9+8/27+・・・
(2/3)ⁿのｎを０から１ずつ増やしながら永遠に足すといくらになるかの問題。
和をS、公比をr、初項をaとおくと、S=a/(1-r)の式が成り立つ。
a=1,r=2/3なのでS=1/(1-2/3)=3
等比数列の収束だと思うが、小学生のギフテッド問題集へ出ているのは、今のところこのくらいなのでサラッとｗ。

ついでに階差数列も紹介しようと数十年ぶりに学んだが、公式に当て嵌めただけでは、１０歳の小学生な娘は意味を理解できないし、面白くもない。どうすれば理解してくれるか無い知恵を絞って考えている。
先ずは 1 2 4 7 11 16　の階差数列を式で表すところから。先生方、どうかお助けをｗｗｗ

タイの小学生向け算数ギフテッド問題の記事へのリンク→#中１入試ギフ

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