言語空間+備忘録

メモ (備忘録) をつけながら、私なりの言論を形成すること (言語空間) を目指しています。

広告

※このエリアは、60日間投稿が無い場合に表示されます。記事を投稿すると、表示されなくなります。

回転行列の導きかた

2010-10-24 | 日記
 「回転行列の覚えかた」にコメントをいただきましたので、

 この際、回転行列の導きかたについても、書いておきます。



 導きたい式 (回転行列の式) は、これ (↓) です。



R(θ) = | cosθ -sinθ | …… (*)
| sinθ  cosθ |



 xy 平面上の回転を考える。

   x 軸方向の単位ベクトルを ex (e sub x, e の右下に小さく x と書く)
   y 軸方向の単位ベクトルを ey (e sub y, e の右下に小さく y と書く)

と定義すれば、

 それぞれの単位ベクトルを xy 平面上で (反時計まわりに) θ 度回転すると、

   ex は 座標 ( cosθ, sin θ) に、
   ey は 座標 ( -sinθ, cosθ) に移動

する。これは次の式で「まとめて」書ける。



R(θ)×( ex, ey ) = | cosθ -sinθ |
| sinθ  cosθ |




 ここで、( ex, ey ) は単位行列 E であるから、

   R(θ)×( ex, ey ) = R(θ)×E = R(θ)

 したがって、式 (*) を得る。



 ここで、xy 平面上にあるすべての点は ex と ey の合成ベクトルで表せるから、式 (*) は xy 平面上のすべての座標について、反時計回りにθ度回転したあとの座標を与える式である。すなわち、式 (*) は回転行列の内容 (成分) を示す式にほかならない。

(証明終)



■追記
 この証明は私が大学入試 (模試等ではなく本番) の際、試験場で考えたものです。なにかの文献に載っていたものではありません。したがって、「正しくない」可能性があります。試験等でこの証明を用いるのであれば、本当にこの証明で「正しい」のか、自分で確かめてください。
 結果が正しいことは私が確認していますが、「たまたま」正しい結果 (=成分) が得られたのかもしれません。
 なお、入試では証明は要求されておらず、回転の計算 (…を用いた処理) が要求されていたにすぎません。つまり、試験官 (採点者) は私の証明の当否を判断していません。
ジャンル:
ウェブログ
コメント   この記事についてブログを書く
この記事をはてなブックマークに追加
« 日本は「何に」財政支出すべきか | トップ | 日弁連のコメント「施行後で... »

コメントを投稿


コメント利用規約に同意の上コメント投稿を行ってください。

数字4桁を入力し、投稿ボタンを押してください。

あわせて読む

トラックバック

この記事のトラックバック  Ping-URL
  • 送信元の記事内容が半角英数のみのトラックバックは受け取らないよう設定されております。
  • このブログへのリンクがない記事からのトラックバックは受け取らないよう設定されております。
  • ※ブログ管理者のみ、編集画面で設定の変更が可能です。