2012年東大入試理系数学第2問

どもども。こんにちは。

前回は今年の東大理系数学の第１問を取り上げてみました～
そこで今回は第２問を取り上げてみたいと思います

問題はこちら
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon2.html

確率の問題ですね


９つの部屋があって，１秒ごとに辺を共有する隣の部屋に移動するというものです。
ではとりあえず図にあるように９つの部屋にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒと名前を付けてしまいましょう。
Ｐがスタート地点。n秒後にＱにいる確率が求めたいものです。

この手の問題は確率漸化式を立ててそれを解く，という解法が
とても有効です
というわけで，とりあえず何も考えずにn秒後にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒにいる確率をそれぞれ
a_n，b_n，c_n，d_n，e_n，f_n，p_n，q_n，r_nとおきましょう
ワーイ，めんどくせー

９つも数列があったらやる気が失せますね♪
でもまぁ実際やってみると，実はそんなに大変でもなかったりするんですが。
図形の対称性を使うと，数列の数を減らせます。
例えばn秒後にＱにいる確率とＲにいる確率は等しくなります。
同様にＢとＣ，ＥとＦにいる確率はそれぞれ等しいです。

そんなわけで，とりあえず何も考えずに９つの数列を考えた場合の解法を挙げてみます。


たくさんあった数列たちを消去しまくってq_nだけの漸化式を得ました。
３項間漸化式ぽい形が出てきましたね
出てくる項が1つおきになってるので，q_nの奇数番目の項を並べた数列 q_{2m-1} (m≧1) と偶数番目を並べた数列 q_{2m} (m≧1) に関しては
隣接３項間漸化式になっております。
特に奇数番目に注目してみると，
q_1＝q_3＝0 から順にq_5＝q_7＝q_11＝……＝0が得られます。
簡単な実験で分かることですが，球は奇数秒後には常にＰ，Ｑ，Ｒ以外の部屋にあり，偶数秒後にはＰ，Ｑ，Ｒのいずれかに入っています
実質的に偶数秒後の球の位置を考えればよいわけですね！

さて，与えられた３項間漸化式ですが，一般に a_{n+2}+Aa_{n+1}+Ba_{n}=0 において 1+A+B=0 のときは扱い方が比較的に楽チンでして，
a_{n+2}-a_{n+1}=B(a_{n+1}-a_{n})
及び　a_{n+2}-Ba_{n+1}=a_{n+1}-Ba_{n}
が成り立つので計算がし易いです。



というわけで，答えが得られたのでめでたしめでたしです～。

では，今回も別解法を考えてみます。
上記のやり方では，何も考えずに９つの数列を用意しました。
でも，それをする前にちょこっと実験してみて，奇数秒後に確率は常に０で
偶数秒後には常にＰ，Ｑ，Ｒにしか居ないということに気付いてしまえば，
わざわざ９つも数列を考える必要はなくって，p_n，q_n，r_nの３つで十分だったという事が分かるかと思います。しかも対称性から q_n＝r_n なので，
実質的には２つの数列で事足ります。



先程よりもスッキリした解法が得られました。今度は３項間漸化式も使っていません。


ここからは敢えて面倒なことをしてみる事にしましょう。
今の解法で出てきた q_{2m}=1/6+(1/2)q_{2(m-1)} という２項間漸化式。
これは q_{n+2}=1/6+(1/2)q_{n}，q_1=（任意），q_2=1/6 で与えられた
３項間漸化式という見方も出来ますね。
これを解く上では，q_1は任意の値で支障はありません。ただし，この漸化式で奇数秒後にＱにいる確率を得ることは出来ません。実際，q_1=0としたとき
q_3=1/6が出てきてしまい，q_3=0は出てきません。
その理由は，漸化式を得る過程で全確率 p_n+q_n+r_n=1 という関係式を
用いているからであります。この関係式は偶数秒後でしか成り立ちません。
そんなこんなで，わざわざ３項間漸化式を解いて答えを得てみましょう。



随分と面倒くさい式が出てきましたね

最後に，もっと面倒くさい解法を１つ与えて終わりにしましょう。
０秒後，２秒後，４秒後，……，２ｍ秒後の球のいる部屋を順に書き下すと
ＰＰＰＱＱＰＱＲＲＱのような，Ｐ，Ｑ，Ｒの重複順列が出現します。
ＰからスタートしてＱで終わるような順列の数を利用して答えの確率を
求めてみようという，なかなか面倒なやり方です
最終的には２項定理まで出てきます。