2012年京大入試理系数学第3問その2

どもども。

前回は今年の京大入試理系数学の第3問をやりました～
今回は別の手法でこの問題を考えてみます
前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/2b66ed8cc2a052c6ff52a4c29b1988f6
問題：http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/kyoto/zenki/sugaku_ri/mon3.html

前回は，X=x+y，Y=xy という変数変換を使いましたが，
今回はまずは線形変換を使ってみましょう。

x^2+xy+y^2=6 が表す楕円を短軸と長軸がｘ軸，ｙ軸となるように
すなわち AX^2+BY^2=C の形になるようにX，Yをとってみたいと思います。
x^2+xy+y^2 という式はいわゆる2次形式と呼ばれてるもので，
対称行列（元の行列とその転置行列が等しい行列）を使って行列の積表示に直すことができます。
ここに現われる対称行列の対角化を利用して欲しい変換を手に入れます



とまぁ，固有値と固有ベクトルを求めますです。
固有ベクトルは絶対値が１になるように正規化したものを使います。
何やらcos45°，sin45°を匂わすような√2とか出てきますね



ここで出てきたＴは直交行列と呼ばれます。転置をとると元の行列の逆行列になっています。
正規化するのは実はＴを直交行列にするためだったり。
そーいうコトを大学の線形代数で学びますよ～。

そもそも x^2+xy+y^2 はx，yの対称式でした。
一般にy=f(x)のグラフと逆関数x=f(y)のグラフは直線y=xに関して対称になっていますが，
そのことからx，yに関して対称な関数（あるいは曲線）というのは直線y=xに関して
線対称になっていることが分かるかと思います。 x^2+xy+y^2=6 もまさにそれで，
短軸と長軸が直線 y=x，y=-x になっています。先ほど45°ぽい数字が出てきたのはそういうことだったんですね。
なのでそれを意識すればわざわざ固有値の計算とかしなくても上手い変数変換を見つけられたりするわけですね。
√2 なしで X=ｘ－ｙ，Y=ｘ＋ｙ とおいた方が，この後の計算が実は楽になったりもするかも

さて，手に入れた新変数を使って解析を進めます。



x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y＝k をX，Yの式で表します。
X^2＝の形に直すと少し扱いやすそうなYの関数が得られました。
どちらかというとXとYが逆の方が見栄えがイイデスネ
ついでにXに付いた2乗が邪魔です。
というわけでX^2=y，Y=xという風に更に置き直してしまいました。
Xに付いた2乗を無くしたおかげで楕円が2次関数になっちゃいましたよ
X^2=yとおいたので，y≧０の部分のみを考えなければならないことに注意です。

f(x)=(x-√2)^2-(√2/x)k は，放物線 y=(x-√2)^2 と双曲線 y=(√2/x)k
の各xに対するｙ座標の差として考えることができますね。
y≧０で考えるので，放物線の方が大きい部分を考えなければなりません。
これでイメージを膨らましながらy=f(x)のグラフを考えてみましょう。
ｋ＞０，ｋ＝０，ｋ＜０の場合に分けて考察します。

まずはｋ＞０の場合を考えますが，放物線 y=(x-√2)^2 と双曲線 y=(√2/x)k は
必ず交点を持つことが分かります
交点のｘ座標がy=f(x)の零点になるわけですね。
ｋが大きい時は交点が1個ですが，小さくなると複数になります。

とりあえずy=f(x)のグラフをｘ＞０部分とｘ＜０とに分けて考えて
それぞれが放物線 y=-3x^2+12 と交点を持つようなkの範囲を求めます





続いて，放物線と双曲線が交点を複数持つ場合です。
前回，元の変数のままでｋを動かしてグラフの変化を見てみましたが
途中で真ん中に変な島みたいなのが出現しましたよね。
それに相当する部分ですかね，この交点が複数現われて来る現象は～。



ｋを０に近づけていくとどんどんαは√２に近付いていきます。
だから相変わらずy=f(x)のグラフは放物線 y=-3x^2+12 と交わるんですね。
ｋ＝０の時も問題ありません。
ｋ＜０の場合もまったく同様に考えます。



というわけでy=f(x)のグラフが放物線 y=-3x^2+12 と交点を持つような
ｋの範囲を求めることができました
やはり骨が折れますね
試験場でこんな大層なことをやることはまず不可能でしょう

次回はメンドクサイ解法をもう１パターンやってみます（まだやるんかーい ）