対話とモノローグ

        弁証法のゆくえ

幻視のなかの橋4

2017-03-21 | 4元数
4 i2=j2=k2=ijk=-1

ij=-ji=kからどのようにして基本公式
i2=j2=k2=ijk=-1
が出現したのだろうか。
出発とするのはi2=j2=-1が示されている次の図(矢野忠『四元数の発見』参照)である。

ここでは3次元で3つの元(1,i,j)が示されている。ここにはまったく歪みはない。
1-i-i2は、垂直の平面を回転して-1に達する。
1-j-j2は、水平の平面を回転して-1に達する。
ここに第4の元kが付け加わえる。

ここでkij=-jiによって生成したものである。実軸の1に重ねてkを示し、実軸に虚軸を重ねている。他方、実軸の負の方向は出発点のままで-1を残している。いいかえればこの図は歪んでいる。しかし、基本公式に出てくるi,j,k,-1は過不足なくすべてそろっている。ここを足場にする。
1-k-k2の回転はこの図のなかでは見えない。垂直でもなければ水平でもない、いわば斜面を回るのである。この回転を幻視する。もちろんこの回転は見えない。しかし、その回転の影は見えるのである。その影とは、i2=-1,j2=-1である。ijk=k2i2j2と同時に-1に達したとき、基本公式が誕生した。
1 
ij=-ji=kよりijk=k2が導かれる。
ij・(-ji)
=ijk
=(ij)k
=k2

2
k2i2=-1,j2=-1の関連が洞察される。
k2
=ij・(-ji)
=ijij
=-i(ij)j
=-iijj
=-i2j2

ここで、i2=-1,j2=-1より、
k2
=-(-1)(-1)
=-1
3
すべての「虚」が「実」に変換される。
i2=j2=k2=ijk=-1



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