対話とモノローグ

        弁証法のゆくえ

4元数の積1

2017-01-25 | 4元数
4元数 (a+bi+cj+dk)と(x+yi+zj+wk)の積を考える。
まず、ij=-ji=k,k2=-1を基礎に虚数単位i,j,kの関係を確認しておこう。
jk=jij=-ij2=i
kj=ijj=ij2=-i
ki=iji=-i2j=j
ik=iij=i2j=-j
ij=k,jk=i,ki=j
である。虚数単位の積は、循環していて整合的である。
4元数の積が計算しやすいように、積を次のように分けておこう。
内積
i2=j2=k2=-1
外積〈非可換〉
ij=-ji=k
jk=-kj=i
ki=-ik=j

この2つの積の他に、1と1,i,j,kの積がある。
境積(内と外の境界の積)〈可換〉
1・1=1・1=1
1・i=i・1=i
1・j=j・1=j
1・k=k・1=k
これらに基づいて4元数の積を計算する。
(a+bi+cj+dk)(x+yi+zj+wk)
実数部分(1の係数)は1・1=1と内積i2=j2=k2=-1
からすぐに
(ax-by-cz-dw)
とわかる。
虚数部分iの係数は境積1・i=i・1=iと外積jk=-kj=iを用いる。kjのときだけ負の項になり、3つの正の項と1つの負の項で構成される。
(ay+bx+cw-dz)i
同じように虚数部分j,kの係数は次のようになる。
(az+cx+dy -bw)j
(aw+dx+bz-cy)k

したがって、4元数の積は次のようになる。
(a+bi+cj+dk)(x+yi+zj+wk)
=(ax-by-cz-dw)
+(ay+bx+cw-dz)i
+(az+cx+dy -bw)j
+(aw+dx+bz-cy)k

4元数の積は4元数になっている。閉じている。4元数の積は体の原則を満たしている。
次に、絶対値の原則について調べてみよう。
ジャンル:
ウェブログ
コメント   この記事についてブログを書く
この記事をはてなブックマークに追加
« みかんを守る | トップ | 4元数の積2 »
最近の画像もっと見る

コメントを投稿

4元数」カテゴリの最新記事

トラックバック

この記事のトラックバック  Ping-URL
  • 送信元の記事内容が半角英数のみのトラックバックは受け取らないよう設定されております。
  • ※ブログ管理者のみ、編集画面で設定の変更が可能です。