対話とモノローグ

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楕円軌道の発見4

2017-07-17 | 楕円幻想
4 ケプラーの推論

第56章のケプラーの推論は、続きがある。「平均的な長さを取る所で正割の代りに半径を用いると観測結果のとおりとなる。」この後は次のようになっている。端緒から一般化への飛躍である。
(引用はじめ)
さらに第40章の図において、HAの代わりにHRを用い、VAの代わりにVR、EAの代わりにEBを取り、あらゆる個所でそのようにすると、離心円上の他の位置でも、この場合に平均的な長さを取る所で起こったのと同じことが起こるだろう、という一般的な結論を下した。
(引用おわり)
第40章の図とは次のものである。

これはケプラーが面積法則(第2法則)を導くとき基にしている図である(注)。ここには楕円軌道が描かれていないので、ケプラーの推論が離心円上の個所を起点に行われていることを確認できるだろう。

(注)
ケプラーは太陽Aから離心円上の惑星までの無限に多くの距離の総和を、Aを頂点とする一種の扇形に置き換える。例えば弧CG上にある無限の点からAまでの距離の総和を扇形CAGの面積と対応させる。そして、その面積と所要時間(弧の長さで表わされる)の関係を捉えなおす。所要時間が同じならば(半円CDは、G・H・I・J・Kで等分されている)、扇形の面積は同じになる。これが面積速度の法則である。
ケプラーは次のように述べている。
(引用はじめ)CDEの面積と180°に換算した公転周期の半分との比が、CAG、CAHの面積とCG、CH上における所要時間の長さとの比に等しい。こうして、平均アノマリアは時間を測るものだから、CGAの面積が離心円の弧CGに対応する時間つまり平均アノマリアの尺度となるだろう。
(引用おわり)
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