シニアDF柏の最終コーナーばなし

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repunit数の2乗と特異3桁数(区切れ数)の積

2016-10-24 22:35:39 | 日記

10進整数について5555を5↓4 、2344467を23,4↓3 ,67と簡略に表し、また1桁整数を表す文字によるa,b,c↓3 ,d,e(=10進表示abcccde)などの表記も用いることにする。さて、1234321や12345654321などの形の回分数(前後折り返し同形)8種をwonderful Demlo数と言い、k番目のそれはW(k)=(1↓(k+1))の2乗 と表せる。1を(k+1)個連ねた連数である(k+1)桁repunit数の2乗はW(k)である(k=1~8)。これは乗算実行ですぐ分かる。W(k)と特異な3桁数との積は3桁の数字を区切りとする形式で表せる。これをwonderful Demlo数の区切れ挿入性という。(W(1)=121,W(2)=12321,・・・)

wonderful Demlo数のpartition insersion propertyとは、特異な3桁数a,b,c×W(k)=a,d↓k,b,(9-d)↓k,c 但しd=2a+b+1  が成立すること。この3桁数は、009,018,027,036,045,054,063,072,081,108,117,126,135,144,153,162,207,216,225,234,243,306,315,324,405の25種である。これはK.R.Gunjikar & D.R.Kaprekar(1939)が示したものである。

https://oeis.org/A249605/a249605.pdf#search=%27Demlo+numbers%27の上記2著者の報文ではW(3)=1234321を例示として上記の3桁の区切れdissectible数を求めている。この性質は、実はW(k)に限定されず、レピュニット数の2乗全般に拡張できることが数学的帰納法で証明できる。このことをwonderful Demlo数の区切れ挿入性の拡張として数学セミナーNoteに投稿したが、不掲載だったので既知のことのようです。

126の場合を例にすると、111の2乗×126=1552446    1111111111の2乗×126=155555555524444444446。桁数がいくら増えてもこの形式が成立するのである。前の方に挿入される数字は(2a+b+1)、後ろは9と前数の差である。以下に前述の拡張を示す:本稿始めの繰り返し(連)記号↓に変えて、右下付き数値で表している。


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