マッキーの学習指導法：今年の開成中学入試問題「算数」・・・その３

 
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マッキーの学習指導法：今年の開成中学入試問題「算数」

マッキーの学習指導法：今年の開成中学入試問題「算数」・・・その２

　以上の開成中学の入試問題解説【１】・【２】に続いて、テストの最後の問題・【４】を今日は解説します。飛ばした【３】の問題は、与えられた条件に沿って、書き並べて求める問題で、小問（１）と（２）は簡単な問題です。（３）は時間との勝負の問題ですが、丁寧に書き並べれば正解できる問題です。

　【４】の問題は、（１）の曲線の長さを求める問題と、面積に関する問題は、比較的簡単な問題です。しかし、（２）の面積を求める小問は、ちょっとした発想力が要求される問題です。


【問題】（若干実際のテストの言い回しとかえてあります。）

（１）下図において、３つの円の直径AB、AC、ADはすべて６ｃｍで、直線ABと直線ADは垂直です。また、直線ACを線対称の軸とみるとき、点Bと点Dが対応します。点Gは一番左にある円の中心です。

（）点Eと点Fとを結ぶ曲線（右図の太線）の長さは何ｃｍですか。

（）三角形ABEの面積は三角形EFGの面積の何倍ですか。

（）三角形AEFの面積は何平方センチメートルですか。



（２）点Oを中心とする半径３ｃｍ（直径６ｃｍ）の円の周上に、周の長さを８等分する点を取り、順に点P、Q、R、S、T、U、V、Wそれぞれを中心とする半径３ｃｍの円を描くと、下図のようになります。



このとき現れる線を利用して、下図の斜線部の図形を考えます。この斜線部の図形の面積は何平方センチメートルですか。



【解答・解説】

　（１）の（）は、与えられた条件の角BAD＝９０度から、角BAF＝４５度、角BGF=９０度などが分かり、求める弧EFの中心角が４５度となります。よって求める曲線の長さは、６×３.１４×４５/３６０＝２.３５５（ｃｍ）



　（）は、まず三角形ABEと三角形BEGを考えると、高さが共通で底辺の長さがAB：GB＝２：１ですので、面積の比も２：１となります。三角形EFGは、三角形BEGと合同な三角形です。よって三角形ABEの面積は、三角形EFGの面積の２倍というのが答えとなります。

　（）は、角BAFと角BGEのそれぞれの角度に注目します。すると角BAF＝角BGE=４５度ですので、同位角の大きさが等しいので、EGとFAは平行になっていることが理解できます。そこで、三角形AEFの頂点Eを点Gまで移動して、等積変形した三角形AGFを考えます。三角形AEF=三角形AGFとなりますので、直角二等辺三角形の三角形AGFの面積を計算して、求める三角形AEFの面積とすることができます。よって、３×３÷２＝４.５平方センチメートルが答えとなります。



　（２）この問題は少々難解です。複雑な図形の面積を求める場合、①この図形を分けて考える、②この図形を含む図形から余分を引く、③等積変形・等積移動を使う、④規則性を考える、などの方法が考えられます。この問題は、④の方法を使って考えると、比較的簡単に解くことができます。求める斜線部分の面積は、太線で囲まれた図形が８個組み合わされた図形として捉えて、面積を計算します。

　中にある花弁状の８つの白い部分に、外周の小さな弓型を切り取り、等積移動して求める方法もあります。いずれにしろ、面積を求める図形を、より小さな合同な図形の集合体とし、等積移動などを用いて計算できる図形に変換することで、求める問題です。
　


　太線で囲まれた一つの図形は、大小二つの弓形の部分を切り取り等積移動すると、平行四辺形となります。この平行四辺形の半分の面積が、（１）の（）で求めた三角形AEFと合同ですので、面積（４.５平方センチメートル）が等しくなります。



　よって求める斜線部分の面積は、４.５×２×８＝７２（平方センチメートル）と、チョ～簡単に計算できます。

　回転移動・転がり移動・対称移動や、回転体・展開図・投影図・図形の切断などの図形の問題を解くためには、日頃の学習の中で、図形をノートに手書きして考えることが必要です。苦手意識を持たずに、面倒がらずに取り組んでいくことが大切です。

　トップ校あるいは上位校の算数は難しいと言われています。しかし、合格するためには１００点をとる必要はないので、開成の算数さえ、確実に得点できる問題が７割ほどありますので、ここでしっかりと得点する学習を日ごろ心掛けることが大切です。また、算数を得点源とする受験生は、今回の解説で難しいと指摘した問題も、果敢にチャレンジする学習が必要でしょう。