人気記事東大文系数学161021

人気記事、２００５年第３問。０以上の実数s,tがs^2+t^2=1（１）を満たしながら動くとき、方程式x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2（２）の解のとる値の範囲を求めよ。（東大文系数学２００５年第３問）（私の解き方）まず数式（１）を見て何を思いだしましたか？これは円グラフですね。（２）のグラフは２次方程式に似ていますね。X=x^2と置けば、（２）の方程式は２次方程式に置き換えられそうです。つまり、この問題は、s,tが円周上を動くとき、二次方程式の解がどの範囲の値を取るかを聞いていることになります。まず、（１）の式を見てみましょう。s,tが0以上の実数なので、円グラフは正の範囲にありますね。４５度の点は、s=tと置いて（１）を解くと、（1/√2,1/√2）の点ですね。この問題では、√2がポイントになりそうです。話を簡単にするためにu=s+tと置いてみましょう。まず、(s+t)^2=s^2+2st+u^2=2st（Ａ）。それでは、uで（２）の式を表してみましょう。(s-t)^2=(s+t)^2-4st。（Ａ）より、(s-t)^2=2-u^2。また、X=x^2と置き換えます。すると、（２）の式は、X^2-2uX+2-u^2=0（Ｂ）。ここで、（Ｂ）の式をg(u)と置きましょう。すると、g(u)=u^2+2uX-2-X^2=0。（１）の円グラフを見てみると、1≦u≦√2の値を取ることが分かります（厳密な証明は省略します）。ここで、g(u)に1と√2を代入してみます。g(1)=2X-1-X^2=-(X-1)^2≦0（Ｃ）。g(√2)=2√2X-X^2=X(2√2-X)≧0（Ｄ）。ゆえに、0≦X≦2√2。従って、0≦x^2≦√8。したがって、解答は-(8の四乗根)≦x≦8の四乗根。