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ようこそ愛進研ブログへ！！
2006．05．07（日）
このブログは、愛知進学研究会（愛進研）の「お茶の水」のブログです。大学入試をはじめとして、小学生・中学生・高校生・大人までの勉強の手助けをしています。数学以外は一番下の総合学習コーナーで楽しく勉強して下さい。勉強ならこのブログでＯＫ！ 
数学は紙と鉛筆1本あればできる。他の勉強とそこが違う。何者にも束縛されず自由な思考で学べる数学を君も始めないか。大学合格を目標に数学の問題の考え方として、前日の問題の「処方箋」を書いているよ。
解答までの処方箋
［入試対策・大阪大学編］
［2005年問題］�ァ�2）
グラフから明らかに、Ｓ₁＝∫x^ndx (積分範囲：0≦ｘ≦ｔ） Ｓ₂＝∫alogxdx （積分範囲：1≦ｘ≦ｔ）であるから、（1）の結果を使い、すべてｎで表せばよい。
［2006年問題］�ァ�2）
昨日の処方箋より、4つの△ＡＢＣ，△ＱＣＰ，△ＱＤＲ，△ＳＡＲは相似の関係にあるので、四角形ＰＱＲＴは向かい合う角がそれぞれ等しくなるから、平行四辺形である。∠ＰＡＢ＝θとおくならば、∠ＰＱＣ＝∠ＲＱＤ＝θであるから、∠ＰＱＲ＝180°−2θとなる。また、ＰＱの長さとＲＱの長さは三平方の定理によって求まるから、四角形ＰＱＲＴの面積Ｔは、Ｔ＝ＰＱ・ＲＱsin(180°−2θ)＝ＰＱ・ＲＱsin2θとなる。ここで、θはｔの値で変化するから、tanθ＝ＢＰ/ＡＢ＝ｔ/1＝ｔを用いてsin2θをｔで2倍角の公式を用いて表す。ここまで来ればあと一息。微分を考える前に他に方法はないかを考えよう。
【入試対策・大阪大学編】
［2005年問題］
�ァ良現燹蓮頁枦昔�20％）
ｎを正の整数、aを正の実数とする。曲線ｙ＝x^nと曲線ｙ＝alogxが、点Ｐで共通の接線をもつとする。ただし、対数は自然対数である。点Ｐのｘ座標をｔとするとき、以下の問いに答えよ。
（1）a,tをそれぞれｎを用いて表せ。
（2）曲線ｙ＝x^nとｘ軸および直線ｘ＝ｔで囲まれる部分の面積をＳ₁とする。また、曲線ｙ＝alogxとｘ軸および直線ｘ＝ｔで囲まれる部分の面積をＳ₂とする。このとき、Ｓ₂/Ｓ₁をｎを用いて表せ。
（3）ｘ≧0のとき、不等式x²/2−x³/6≦e^(-x)＋ｘ−1≦x²/2が成り立つことを、次の（a），（ｂ）に分けて示せ。ただし、eは自然対数の底とする。
（a）ｘ≧0のとき、不等式e^(-x)＋ｘ−1≦x²/2が成り立つことを示せ。
（b) ｘ≧0のとき、不等式x²/2−x³/6≦e^(-x)＋ｘ−1が成り立つことを示せ。
（4）極限値ｎ→∞、limＳ₁/Ｓ₂を求めよ。
【2007年入試当日の体調占い】
来年の大学入試日程は、センター試験が1月20(土),1月21日(日)、国立大学は2月25日(日)に2次試験が実施される予定です。そこで、体調を今からコントロールして、当日は万全の体制で望もう。以下の表は、バイオリズムによる体調の変化を測定して計算した結果です。
【1988．5．7生まれ】［1/20(土)］ ［1/21(日)］ ［2/25(日)］
体調 普通 やや不調 やや不調
金銭 やや好調 やや好調 やや不調
学業 普通 やや好調 普通
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［2005年問題］�ァ�a)処方箋参照
f(x)＝e^(-x)+x-1-x²/2 とおく。微分して、
f\'(x)＝-e^(-x)+1-x これのｘ≧0における増減表をかけばよい。これだけでは、分かりにくいので、f\'(x)の様子を調べるためにもう1回微分して、f\'\'(x)＝e^(-x)-1 ｘ≧0のときe^(-x)≦1であるから、e^(-x)-1≦0 よって、f\'(x)はｘ≧0において単調減少関数である。よって、ｘ≧0において、f\'(x)≦f\'(0)＝0であるから、f(x)も単調減少関数である。これより、f(x)≦f(0)＝0 よって、
e^(-x)+x-1-x²/2≦0 より、
e^(-x)+x-1≦x²/2 となる。
�ァ�b）
（a）と同様に、
g(x)＝x²/2-x³/6-e^(-x)-x+1 とおく。
g\'(x)＝x-x²/2+e^(-x)-1
＝｛e^(-x)＋x-1｝-x²/2≦0 （（a）より）
よって、ｘ≧0でg(x)は単調減少関数であるから、g(x)≦g(0)＝0 よって、
x²/2-x³/6-e^(-x)-x+1≦0 より、
x²/2-x³/6≦e^(-x)-x-1
�ァ�4）処方箋参照
（2）より、
Ｓ₂/Ｓ₁＝(n+1)｛1-n＋ne^(-1/n)｝
＝(n+1)n｛e^(-1/n)+1/n-1｝ ここで、
1/n＝x とおくと、
(n+1)n｛e^(-1/n)+1/n-1｝
＝(1/x+1)1/x｛e^(-x)+x-1｝・・・��
（a)より、e^(-x)+x-1≦x²/2 であるから、
� �(1/x+1)1/x・(x²/2)＝1/2+x/2
ｎ→∞のとき、ｘ→0 から1/2+x/2→1/2
同じく（b)より、x²/2-x³/6≦e^(-x)-x-1であるから、
� �(1/x+1)1/x・(x²/2-x³/6)＝1/2+x/3-x²/6であるから、同様に、1/2+x/3-x²/6→1/2 よって、n→∞のとき、1/2≦Ｓ₂/Ｓ₁≦1/2
ゆえに、n→∞，limＳ₂/Ｓ₁＝1/2