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高校入試と「方程式の文章問題:割合」

2017年04月19日 15時41分43秒 | 中学数学



 



高校入試と「方程式の文章問題:割合」




1次方程式「割合」をテーマにした文章問題も入試ではよく見られます。



割合は 「もとになる数量の何倍か」 をいいます。



例題を見ていきましょう。



                 5%の食塩水400gに10%の食塩水を混ぜて8%の食塩水を作るには、
                10%の食塩水を何g混ぜればよいか答えなさい」


食塩水の濃度を表す公式を利用します。



      食塩水の濃度[%]=(食塩の量)÷(食塩水の量食塩の量+水の量×100 



をまず思い出してください。



次に、未知数 x を何にするかを決めます。



     ここでは、問題の答えに当てはめて、10%の食塩水の量を x (g)として考えます。


     濃度の公式より、


       ・5%の食塩水400gに含まれる食塩の量0.05×400=20(g) ―― 1


       ・10%の食塩水 x gに含まれる食塩の量0.1×x=0.1x(g) ―― 2


     これらを加えると8%の食塩水になることから、


        0.1x+20=0.08(400+x) 

     という方程式が成り立ちます。よって、これを解き


        0.1x+20=32+0.08x

        0.1x-0.08x=32-20
        0.02x=12  x=600

     10%の食塩水600gに含まれる食塩の量0.1×600=60(g) であるから、1より、

     5%の食塩水400g10%の食塩水600gに含まれる食塩の量は 20+60=80g


     よって、このときの食塩水の濃度は 80÷1000×100=8(%)となるので、


     この値が問題の答えとして正しいことがわかります。


     答え 10%の食塩水を600g混ぜればよい


この問題を解くコツは、本文から、

        5%の食塩水400gに10%の食塩水を x g混ぜると8%の食塩水になる」


        → A+B=C  という数量関係を見出すことです。



入試問題にチャレンジ: 


               「ある品物に仕入れ値の2割増しの定価をつけて売り出すときに、あやまって定価の
              2割引きにしたため、損失が96円であった。この品物の定価を答えなさい」




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・前回の演習問題の答え

    
・A市からB市までの距離を x(km)とする

       130km歩くと残り2日で(x-30)km 歩く」から、2日目に歩く距離は

 
         → 2/3(x-30)km ―― ①


       3日目に歩く距離はA市からB市までの距離の3/14 であるから


         → 3/14x km ―― ②


       このことから、方程式 30 + 2/3(x - 30) + 3/14x = x  が成り立ち、これを解いて

〈計算式〉

 

        



     x = 84 をもとの式に代入して
        左辺=2/3(84-30)+3/14×84+30=2/3×54+3×6+30
           36+18+30=54+30=84
        右辺=84

     よって、 x=84 が方程式の解として正しく、また、問題の答えに当てはまる。


      ∴ A市からB市までの距離: 84 km


問題解答のコツは、複雑な日本文を正しい数式に直すことです。

     1日目は30km歩き、2日目はB市までの残りの距離の2/3を歩く」 において、

        「B市までの残りの距離」=「A市からB市までの距離」-「1日目に歩いた距離」 と理解します。



 
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