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高校入試と「比例と反比例」

2017年04月19日 16時19分05秒 | 中学数学






高校入試と「比例と反比例」




・変数・関数・変域



              「水そうに水を入れていく場合、1分間に3ℓずつ入れると、入れ始めてから1分後には3ℓ
             2分後には6ℓ … 10分後には30ℓというように水がたまっていきます」



このような数量関係を文字で表すと、

              水そうに水を入れ始めてから x 分後の水そうにたまった水の量は yℓ

と表すことができます。この場合


              x 1 のとき y 3

              x 2 のとき y 6
              x 10 のとき y 30

のように、xy にはいろいろな値を当てはめることができます。数量を文字で表すとき、いろいろな値を当てはめることができる文字

のことを「変数」と呼びます。おたがいにいろいろに〈〉が〈変化〉するからこのようにいいます。「変数」に対しては、「決まった数」という

意味の「定数」があります。定数とは、1,-3,2.5 など特定の整数や小数、分数をいいます。

 

〈決まりごと〉

   ・変数とは、いろいろな値をとることができる文字のこと

   ・定数とは、ある特定の整数や小数、分数のこと


また、例題のように、x1 のとき y3 となるように、2つ変数のうち、一方の値が決まるとそれにともなって他方の値が1つ決まる 

というような〈〉の〈関係〉を「関数」といい、 yx の関数である」 と表現します。


〈決まりごと〉

   ・変数 x,y において、x の値が決まるとそれにともない y の値が1つに決まる場合
   「 yx の関数である」という



これらの変数において、取り得る〈範囲〉が決まっているような場合、〈変数〉の取り得る値の〈範囲〉のことを「変域」といいます。

変域の〈域〉範囲という意味になるのでこのようにいいます。



〈決まりごと〉


   ・変域は不等号を用いて表す


          x-2以上12以下」 … -2 ≦ x ≦12

          y5より大きく10より小さい」 … 5< y <10

   ・数直線で表すとき、   のようにその数が含まれる場合は
     < のようにその数が含まれない場合はを使って端点を表す
  



・比例・反比例


  1) yx の関数であり、2つの間に y axa0でない定数)という関係があるとき、

       y x に比例する」 といいます。このときの a「比例定数」と呼ぶ。


       比例の性質 … x 2倍、3倍…になると y2倍、3倍… になる  

 
  2) yx の関数であり、2つの間に y a/x  ( a xy ) という関係があるとき、

     「 y x に反比例する」 といいます。このときのa比例定数であり、0以外の定数になります。


      反比例の性質 …  x2倍、3倍… になると y1/2,1/3 … になる  

                       反比例では、x y の積が比例定数 a に等しくなる  





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演習問題にチャレンジ: 次の問題を解いてみましょう。


                 「水が300ℓ入る水そうに、毎分12ℓの割合で水を入れていき、水を入れ始めてから x 分後
               の水の量を yℓとするとき、次の問いに答えなさい。」


                  (1) xy の関係を式に表しなさい


                  (2) x の変域を答えなさい 


                  (3) x の変域を答えなさい



前回の演習問題の答え

      ある品物の仕入れ値を x とする


        「仕入れ値の2割増しが定価となる」 から

          x ×(1+0.2) ―― ①

        「定価の2割減の価格」 から


          {x ×(1+0.2)}×(1-0.2) ―― ②


     で売るところをで売ったために損失が96円(=利益が-96円)出たのだから、


     方程式 ①-② が成り立ち

           x ×(1+0.2)-{x ×(1+0.2)×(1-0.2)}=96


     これを解き


       1.2x -(1.2x×0.8)=96

       1.2x -0.96x=96
       0.24x =96
          x = 400

     求める答えはこの品物の定価であるから、この解を①の式に代入して、


       400×1.2=480


          ∴ 答え 品物の定価:480

 ここでは、 「未知数 x」を「品物の仕入れ値」としています。



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