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高校入試と「円とおうぎ形」

2017年04月19日 17時31分38秒 | 中学数学





高校入試と「円とおうぎ形」




〈円の定義〉

     円は、ある点Oから一定の距離にある点の集合」 をいいます


このとき、点Oを円の中心といい、点の集合でできる曲線をとくに円周といい、

円周上の点から円の中心までの距離半径といいます。


・円の性質: 

     1つの円の半径はどこでも等しい

     円周率(3.14=π)はどんな円でも値が同じである


・半径 r の円について


      面積S=半径×半径×円周率

           =r × r × ππr2
       円周=直径×円周率
          r × 2 × π 2πr


・弧(こ) と弦(げん)


   円周上に2A, B をとったとき、AからBまでの円周部分を「弧」、線分AB「弦」とよびます。




〈おうぎ形の定義〉


     おうぎ形とは、「円の2本の半径とその間にある弧によって囲まれた図形」 をいう 

     この2つの半径がつくる角を中心角といいます。

     おうぎ形は円の1(円=中心角が360°のおうぎ形)と言えます。



・おうぎ形の性質


 1つの円において、中心角が等しいおうぎ形は合同であることから、


       *1つの円において、おうぎ形の弧の長さは中心角に比例する

       *1つの円において、おうぎ形の面積は中心角に比例する


・おうぎ形の弧の長さと面積


おうぎ形の性質より、「中心角がx° であるおうぎ形の弧の長さと面積は、それぞれ円の円周と面積

に対してx/360〉倍になります。したがって、

       おうぎ形の弧の長さ=円の弧の長さ×〈x/360〉

                    =円周の長さ×〈x/360〉
                    =2 πr × x/360

       おうぎ形の面積=円の面積×〈x/360〉
                 =πr 2 × x/360

と表すことができます。この関係をしっかり理解してください。



 ◎ おうぎ形の弧の長さや面積を求めるには求めるおうぎ形が円のどのくらいの割合であるかがわかればよい



〈重 要〉


  ・半径rcm、弧の長さcm のおうぎ形の面積の求め方


     おうぎ形の性質、「おうぎ形の弧の長さは中心角に比例する」を利用して


     (おうぎ形の中心角)/(円の中心角)=(おうぎ形の弧の長さ)/(円の弧の長さ=円周)


であることから、


        おうぎ形の面積Sπr 2 × ℓ/2πr

                    =πr 2 × 1/2πr
                    =1/2


この公式も重要ですから、ぜひ覚えておいてください。


〈前回の問題の答え〉




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