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高校入試と「連立方程式の文章問題:濃度」

2017年04月19日 17時01分38秒 | 中学数学






高校入試と「連立方程式の文章問題:濃度」



「食塩水の濃度」は、「食塩水全体の重さのうち、食塩が溶けている割合」 を表します。

つまり、「食塩水全体を基準に、それに対して食塩が何倍含まれるか」が食塩水の濃度になります。

ちなみに、「食塩水全体の重さ」は(食塩の重さ)+(水の重さ)



               「3%の食塩水と8%の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を500gつくるとき、
               それぞれ食塩水を何gずつ混ぜればよいか」



   ・何を x, y に当てはめるか決める


     求める答えが 3%の食塩水と8%の食塩水の重さ」であるから、
     それぞれの食塩水の重さを x, y とする


         食塩水の濃度(%)=(食塩の重さ)÷(食塩水の重さ)×100


     より、


        (食塩水の濃度)×(食塩水の重さ)100×(食塩の重さ)

        (食塩の重さ)={(食塩水の濃度)×(食塩水の重さ)}÷100

     のような関係が生じます。これにより、


      3%の食塩水 … 食塩の重さ=(3×x)÷1003/100x (g)

                     水の重さ = x-3/100x (g)

      8
%の食塩水 … 食塩の重さ=(8×y)÷1008/100y (g)

                     水の重さ =x-8/100x (g)

      5
%の食塩水 … 食塩の重さ=(5×500)÷10025(g)

                     水の重さ =500-25=475(g)

     のような数量関係が見出せます。そこで、食塩の重さと食塩水の重さについて連立方程式


        x+y=500 ―― 1

        3/100x+8/100y=25 ―― 2

     を立て、これを「代入法」で解きます。1の式を x についての式に直し、

        x=500-y ―― 1´ 


     これを、
2の式に代入します。
        3/100×(500-y)+8/100y=25 
              ← 式の両辺に「100」をかけて、分数を含まない式に変形して

        3(500-y)+8y=2500
        1500-3y+8y=2500
        5y=2500-1500  5y=1000
         y=200

     これをの式に代入

         x=500-200=300

    x=300、 y=200 2 の式に代入して解として正しいかを確認

      左辺=3/100×300+8/100×200=9+16=25
      右辺=25

よって、連立方程式の解として正しく、求める答えが食塩水の重さだから問題の条件にも当てはまることがわかりました。


     ∴ 3%の食塩水 300g  5%の食塩水 200g



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