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高校入試と「連立方程式の文章問題:割合」

2017年04月19日 16時38分28秒 | 中学数学





高校入試と「連立方程式の文章問題:割合



 2つの数量を比べたとき、一方が他方の何倍に当たるかを割合といいます。

                「ケイコの中学校の今年度の生徒数は469人で、昨年度の生徒数より6人少なくなっている。
                これを男女別に調べると、
昨年度より男子の生徒数は6%減り、女子の生徒数は4%増加して
                いることがわかった。このことから、昨年度の男子と女子の生徒数を答えなさい」


     x, y を何に当てはめるか


        「求める答えが昨年度の男子、女子生徒」であるから、

        → 昨年度の男子生徒を x,  女子生徒を y とする 


     ・数量の関係を数式に直す


        「今年度の生徒数は昨年度より6人少ない469人である」 は
        「昨年度の生徒数は今年度の469人より6人多い」 と同じことであるから

         → x+y=469+6  x+y=475 ―― 1

        「今年度の男子生徒は昨年度より6%減少し、女子生徒は4%増加している」 を
        「昨年度の男子生徒数の6%減の数と女子生徒数の4%増の数を合わせると469人になる」 と考え

         → x(1-0.06)+y(1+0.04)=469

     12を同時に満たす x,y の解を求める


        2の式のかっこをはずして整理する

             94/100x+104/100y=469 ―― 2

        式の両辺に「100」をかけて分数を含まない式に変形する

             94x+104y=46900 ―― 2´

        連立方程式を代入法で解く。1の式を x についての式に直す

             x =475-y ―― 1´

        これをの式に代入する

        94(475-y)+104y=46900 
        44650-94y+104y=46900
        10y=46900-44650=2250
         y=225

        これをの式に代入する

            x =475-225  x =250

        これらをもとの2の式に代入する

           左辺=94/100×250+104/100×225
             
94×2.5+104×2.25=235+234=469

           右辺=469

     ・これらが連立方程式の解として正しい。また、問題の答えが「昨年度の男女の生徒数」であるから、


           ① 正の整数でなければならない

           ② これらの解が「昨年度の値」であれば、2数の和が469より大きくならなければならない

      よって、問題の条件を満たしているから答えとしても正しい。


          ∴ 答え 昨年度の男子生徒数:250人 女子生徒数:225


この問題のポイントは、


昨年度より男子生徒数は6%減少している を 昨年度の男子生徒数 x 人の6/100倍減少 と考え

       → x(1-0.06)=94/100x (人)

同じく、 「昨年度より女子生徒数は4%増加している」 を 「昨年度の男子生徒数 y 人の4/100倍増加」 と考え

      → y(1+0.04)=104/100y (人)  

という式を導き出すことです。


 

 

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〈前回の演習問題の答え〉

     ・未知数 x,y はすでに決まっていますので、数量関係を表す表現を数式に直します。

        1) 列車が鉄橋を通過するとき進む距離

        2) 列車がトンネルを通過するとき進む距離

この2つについて数式を立てますが、図に表してみるとよくわかります。

 1) 

   

 

 2) 

  




 1) 列車の全部が鉄橋内に入るとは、図のように列車の長さxm分だけ進み、鉄橋から列車の全部

    出るのにも列車の長さxm分だけ進むことになります。つまり、

    実際に進む距離は鉄橋の長さ570mに列車の長さ2xを加えたものになります。

        →  x+570+x =2x+570(m)

   よって、 「2x+570」 を列車の速さ y で割った値が47(秒)と考えます。

          → (2x+570)/y =47 ―― 1

 2) 列車がトンネル内にいる時間

    
「列車全部がトンネル内に入ってからトンネルから出始めるまで」 と考えられます。つまり、1)とは逆に

    「列車の全部がトンネルに入るまでに進む距離xm列車の全部がトンネルから出るまでに進む距離xm

    トンネルの距離950mから引きます
よって、「950-2x」 を列車の速さ y で割った値が33(秒)となります。
         → (-2x+950)/y =33 ―― 2

    これを解けばよいのです。最初に2つの式を分数を含まない式に直すため、

    両辺にそれぞれyをかけ、1´+2´より x 消去します

         2x+570=47y ―― 1´
         -2x+950=33y ―― 2´
            1520=80y  y =19

    これをの式に代入して

        2x+570=47×19
        2x =893-570=323
         x =161.5

    これらをもとの式に代入します

  1の式において
    左辺=(2×161.5+570)÷19=(323+570)÷19=893÷19=47
    右辺=47
  2の式において
    左辺=(-2×161.5+950)÷19=(-323+950)÷19=627÷19=33
    右辺=33

    ∴ 列車の長さ:161.5m  列車の速さ: 秒速19m ・・・ 答え


問題解答のポイントは、列車が鉄橋やトンネルを渡るとき、「渡り始め」から「渡り終わる」
までに進む距離

には列車の長さを含
ということを理解します!


 * 桜華塾の[英語・数学]対応講座  

 

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