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高校入試と「1次関数:変化の割合」

2017年04月19日 17時23分34秒 | 中学数学






高校入試と「1次関数:変化の割合」



「関数-図形-方程式」の3つを組み合わせた融合問題が入試問題の主流になっています。

関数は2学年の1次関数のほかに、3学年にも出てくる重要な項目ですから、ここでつまずいてしまうと

取り返しがつきませんからしっかり覚えてください。



〈1次関数〉


関数とは xy 2つの〈変数〉があって、 x の値にともなって y の値が1つに決まるときのxy の関係をいい、

yx の関数である」 と表現するのでした。

1次関数とは、この関係を x 1次式で表したもので

           yaxb  a,bは定数) の形になります。


〈いろいろな出来事を1次関数に表す〉

世の中のいたるところに関数で表すことのできる出来事があります。


            「水そうには水が10リットル入っていて、そこに毎分2リットルで水を入れていった」



このときの、時間と水そうの水の量との関係は次のようになります。


       ・1分後の水そうの水の量 → 10+1×2=12 ―― 1

       ・2分後の水そうの水の量 → 10+2×2=14 ―― 2
       ・5分後の水そうの水の量 → 10+5×2=20 ―― 3
       ・10分後の水そうの水の量 → 10+10×2=30 ―― 4
       x 分後の水そうの水の量 → 10+x×2


このことから、水を入れ始めてから x 分後の水そうの中の水の量を yℓとすれば、

           y=2x+10 という式で表せます。


   例題1: 「マサオの家から図書館まで1500m離れている。家を出発して毎分60mの速さで歩くと、
               出発してから x 分後の図書館までの残りの距離を ymとするとき、yx の式で表しなさい」



〈変化の割合〉


関数における2つの変数 x,y の関係は、x が変化すればそれにともなって y も変化するというものです。


このとき、x の変化の度合いと y の変化の度合いを「変化の割合」として表すことができます。


ここでは、 「変化後の数量」から「変化前の数量」を引いた「増加量」という数値を用いて、


  y の増加量が x の増加量の何倍あるか」「変化の割合」になります。


      → 変化の割合=(yの増加量)÷xの増加量)

               y の増加量=y の変化後の数量y の変化前の数量
               x の増加量=x の変化後の数量x の変化前の数量


たとえば、1次関数  y3x2 において、x1 から 3 まで変化するときの変化の割合を求めると、

            ・ x の増加量=
3-1=2
            ・ y の増加量=(3×3-2)-(3×1)-2=7-1=6

よって、 変化の割合=yの増加量 ÷ x の増加量 より


      変化の割合=6÷2=3 ―― 1 



同じく、1次関数  y -2x5 において、 x 1 から 3 まで変化するときの変化の割合はというと、


             x の増加量=3-1=2

             y の増加量=(-2×3+5)-(-2×1)+5=(-1)+3=2

よって、変化の割合=y の増加量÷ x の増加量 より


     変化の割合=2÷(-1)=-2 ―― 2


1,2 より、1つの決まりごとが明らかになります


     ・「決まりごと」
           
 1次関数  y=ax+b  の変化の割合は  x の係数に等しく一定である


   例題2: 「 y=5x+3 において、 x の増加量が 4 のときの y の増加量を答えなさい」


   例題3: 「点(3,4)から点(7,16)へ変化したときの変化の割合を答えなさい」


    ・「1次関数の性質」
            1次関数  y=ax+b  は傾きが a,  切片が b の直線である
           
直線 y=ax+b は 原点を通る直線 y=ax  〈b〉だけ平行に移動したもの 

                 → y=ax  に平行で、座標 (0,b) を通る直線


このことから、1次関数のグラフ傾き(y の増加量÷ x の増加量)と切片(y軸との交点)を利用して描くことができます。

たとえば、y2x3   のグラフは切片 (0,3) を基点として x1増えれば y2増える点を結ぶ直線

すればよいことになります。


・演習問題にチャレンジ

     (1) 2直線 y=4x-5, x+3y=p  y 軸上で交わるとき、 p の値を求めなさい。

     (2) 温度のセ氏カ氏には、セ氏0℃がカ氏32℉、セ氏100℃がカ氏212℉であるという関係がある。
        セ氏 xカ氏 y であるとき、


         ア  yx の式で表しなさい
         イ ある日の最高気温が30で、最低気温が10であるとき、それぞれカ氏温度で表しなさい。


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