あたまのたいそう

なんでかテキストで残っていたネタ．頭が悪いのでこんなまどろっこしいことをしている．

---

原問題（『果てしなく青い、この空の下で……』より）

十二支（子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）のうち，４匹の動物を食べた．
食べた動物は何か答えよ．

• １匹目と３匹目を足すと２匹目になる．
• １匹目と４匹目を足すと３匹目になる．
• １匹目と２匹目と３匹目，そして４匹目を掛けた数の十と百の位の数を足すと２匹目になる．
• ただし，最後に食べたのは丑であった．

改問題

0～11の整数値をとる数a,b,c,dがある．次の条件において，a,b,cはいくつになるか．

1. a≠b≠c≠d
2. a+c=b
3. a+d=c
4. a*b*c*d=x*100+y*10+z
5. x+y=b
6. d=1

答案

2.に3.を代入すると，

2a+d=b．

ここで，6.より，d=1を代入して，

2a+1=b．

従ってbは奇数である．またbが取り得る範囲はd=1より，0≦b≦11である．従って，bの取り得る最大の値は11である．

次に上式をaについて変形すると，

a=(b-1)/2．

各変数は整数値しかとらないので，aは偶数であると分かる．
また，aが偶数であると，3.の式よりcが奇数となる．

さらにこのとき，bの最大値が11であることから，aは5以下の偶数となる．従って，

a=2,4．

a=2のとき

条件2.と3.に代入してcとbの値を得る．

c=a+1=2+1=3

b=a+c=2+3=5

これらを条件4.と5.に代入する．

a*b*c*1=2*5*3=30

x*100+y*10+z=0*100+3*10+0*1
∴ x=0, y=3, z=0

x+y=0+3=3≠b

条件5.を満足しないため，a≠2．

a=4のとき

条件2.と3.に代入してcとbの値を得る．

c=a+1=4+1=5

b=a+c=4+5=9

これらを条件4.と5.に代入する．

a*b*c*1=4*9*5=180

x*100+y*10+z=1*100+8*10+0*1
∴ x=1, y=8, z=0

x+y=1+8=9=b

a=4のとき，全ての条件を満足する．よって，各数は

a=4, b=9, c=5, d=1

従って，原問題の解答は，

子	丑	寅	卯	辰	巳	午	未	申	酉	戌	亥
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

より，食べた動物は，

1. a=4=辰
2. b=9=酉
3. c=5=巳
4. d=1=丑