マーちゃんの数独日記

かっては数独解説。今はつれづれに旅行記や日常雑記など。

第4章 上級ステップ(1)

2009年06月30日 | 数独

(4)上級ステップ
 ①「XY-wing」 の成立を調べる
 中級ステップまでは(1)マスに数を入れる (2)候補数を消去する手筋、を考察し、一部例外(「2国同盟」)を除いて、ある候補数についての消去を考えました。更に複数の候補数を考える事とし、一つのユニット内を考察(「同盟」関係)しました。ここからは「幾つかのユニットに跨り、複数の候補数」について考えます。
 その手筋は沢山あります。問題解決に登場する事の多そうな「手筋」から順に紹介します。まず「XY-wing」です。「X-wing」が候補数一つについての「手筋」でしたから、複数のユニットの間で成立する「XY-wing」は「X-wing」とはまるで内容が違います。図1を見てください。


           図1
 「XY-wing」の一般的定義では無く、図1に即して”準定義”的な説明をします。マスb2に注目です。ここには候補数は2個{x,y}のみが入る事を図の様に表し、b2={xy}と表現します。その{xy}のマスと同一のユニット(b行)の中のマスがb6={xz}で、かつ{xy}のマスと同一のユニット(2列)の中のマスをd2={yz}とします。この時b6={xz}とd2={yz}の両方と同一ユニットを形成するマスが存在すれば(図では水色印のマスd6)、そのマスに候補数zは存在しない、言い方を変えれば、そのマスからzを消去出来る、これが「XY-wing」の内容です。
 少し記号に拘れば、この事実を『zx-xy-yz』と表現し、真ん中の「xy」(のマス)を「核」と呼ぶ事があります。
 又マスd6の事を「b6、d2の両方のマスを見ることの出来る」マスと呼ぶ事もあります。何故この「手筋」が成立するか。説明は図2をご覧下さい。


           図2
 図2で仮にd6=z と数が確定すれば、連鎖的にb6=x、d2=y と決まり、b2に入る数がなくなってしまいます。
 この「XY-wing」は次のような場面でもその成立条件を満たしていますから、結論として幾つかのマスからzを消去出来るわけですが、図3を見て、消去出来るマスを過不足なく指摘できますか。


           図2
 正解は図3を見てください。


          図3
  {xy}を核として『zx-xy-yz』の「XY-wing」が成立しますから、{xz}と{yz}を見ることの出来る、図3の水色印のマスから、zを消去する事が出来ます。
 さて図4で、「XY-wing」が成立するか否かを調べる局面に立ち至ったとします。どう「XY-wing」は成立しているのでしょうか?
 解答を読む前にお考え頂いても結構ですし、読んだ後例題に挑戦して頂くのでも良いかと思います。(例題は次回のブログで)

             図4
 「XY-wing」攻略の戦略について書きます。
 「XY-wing」は発見が難しいと、”大海原で真珠を探す”事に譬えられますが、そんなことはありません。比較的簡単です。何故なら、候補数が2個のマスについてのみ考えれば良いからで、かなり限定して考察すれば良いからです。図4と図5の両方を見ながら、お読み下さい。

             図5
 マーちゃんは、ペア数の一覧を作ります。例えば{3,2}なるペア数は23と認識し、ペア数を小さい順に並べます(図5左)
例えば19(3)はペア数19は3回登場するという意味で、この重要性は後述します。
 ペア数を小さい順に並べた後、12と13から出来るペア数23がこの一覧の中に登場するか眺めます。ありません。
  12と15のペア数から出来るペア数25は一覧の中にありますから(12 15 25)が「XY-wing」を形成する可能性ありとして図5の右の図に書き置きます。
 丁寧に、全ての場合について調べ尽くし、この組合せを作っていったところ、図の右のような組合せで「XY-wing」の可能である事が判明しました。
 次に、解いている問題用紙を用い、該当するマスの上にオセロ石を置き「XY-wing」の条件を満足しているか調べます。これらを調べるときに例えば19のマスにオセロ石を置くときに、19(3)ですから、19の置き場所3通り全てを調べなければなりません。19(3)はこの点の注意マークの意味もありました。
 さて、(12 15 25) (12 17 27) (13 17 37)
(13 19 39)の全てで「XY-wing」の成立する条件の配置は見出せません。「XY-wing」不成立ですが、最後に(24 25 45)で「XY-wing」が成立している事に気が付き、ホッとします。図6を見てください。


            図6
 『a1-c2-g2』で「XY-wing」の条件を満たしています。それらのマスで『54-42-25』が「XY-wing」。よってa1とg2を見る事の出来るマスg1(水色印マス)から5を消去出来ます。
 g1={37}となった結果、g1=h2={37}で「自明の2国関係」が成立しますから、h3から7が消去でき、h3=2が確定し、後は、問題が堰を切ったように解決に向かいます。
             

 

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第3章 中級ステップ(9)

2009年06月30日 | 数独

(2)「候補数を消去する」手筋
 ⑨「オセロ石」を用いる
 さて図1はf行で「自明の4国同盟」と「隠れた4国同盟」が成立する事を示すものです。i行の考察に入る前に、ここで又「オセロ石」を用いて、視覚的に「4国同盟」を見抜く方法を紹介します。



             図1
 用意するものは図2の様な用紙で、各マスにはオセロ石を置ける程度の大きさのものを用意してください。
 図1のf行で、マスf1の候補数は{4、5、7}です。この事実に対応し、図2の1行(a行)の様に4、5、7列に石を置きます。(本当は黒面が上に来るのですが、この図では赤印をつけています)
 以下、f2には候補数の{3,4,5}が存在する事柄に対しては、2行(b行)の3列、4列、5列に石を置きます。f3に候補数はありませんから3行(c行)には石は置きません。以下f9に対応して9行(i行)の様に石を置き図2が完成します。この図を見ながら視覚的に考えようという訳ですが、若干省略が可能です。「自明の4国同盟」に登場するマスの候補数は4個以下です。候補数が5個以上のマスを考察する必要はありません。そこで候補数が5個以上のマスに相当する図2の行、d行とf行とi行から石を取り除いた図3で考えます。


            図2
 下の図3で上手く4行を選び、その4行に登場する数が4個!となる様な4行が存在するかを考えるわけです。それは、実は「Jerry  Fish」を探す事と同じではありませんか。比較的簡単に、a行(実はf1マス)、b行(実はf2マス)、e行(f5マス)、h行(実はf8マス)が「Jerry  Fish」を構成す事が読み取れると思います。
 「自明の4国同盟」は{f1、f2、f5、f8}で成立と言うわけです。


            図3

 では「隠れた4国同盟」の成立はどうは。「隠れた4国同盟」に登場する候補数はそのユニットの中で4回以下と言う条件がありますから、登場する回数が5回以上の候補数は考える対象から外します。図2のオセロ石の配置から5回以上登場する候補数4と5に対応する4列と5列からオセロ石を取り除いた状態が図4です。
 図4で上手く4列を選び、その4列に登場する行(図4ではa~i行。実際はそれに対応すf1マス~f9マス)が4個のものを見出すわけです。これまた「Jerry  Fish」の探索と同じです。列についての考察で「Jerry  Fish」を探すわけで、これまた容易に1列、6列、8列、9列が「Jerry  Fish」を構成し、登場する行はd行(実はf4マス)、f行(実はf6マス)、g行(実はf7マス)、i行(実はf9マス)であることが分かると思います。
 {f4、f6、f7、f9}の4マスが「隠れた4国同盟」構成です。


            図4
 さていよいよi行の考察です、図1のi1~i8マスの候補数の存在に対応してオセロ石を置きます。図5の様になります。


             図5
 「自明の4国同盟」では5個以上の候補数の登場するマス(上の図ではd行)からオセロ石を取り除いた図6で、行についての「Jerry  Fish」を考察します。これにはかなり時間を要すると思いますが、視覚的にその成立が無い事が確かめられると思います。


            図6
 最後に「隠れた4国同盟」の考察ですが、図5で5回以上登場する候補数はありませんから、削除する列は無く、図5そのものを対象にして、列についての考察で「Jerry  Fish」の成立を考察します。これもかなり時間が掛かることと思いますが、丁寧な視覚的観察により、「Jerry   Fish」不成立を確かめられる事と思います。
 一般的に言えばf行対応のオセロ石の状態図2や、i行対応のオセロ石状態図5の、行と列の考察で「自明の4国同盟」と「隠れた4国同盟」が考察出来るわけで、「自明」と「隠れた」が統一的に考察出来ます。
 最後に9マス全部が未知のユニットはどう考察するのかと言う問題が残りますが、「自明の4国同盟」と「隠れた4国同盟」考察が、実は「5国同盟」の考察になっていることを指摘しておきます。「4国同盟」を超えて考察する必要は無い!のです。

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第3章 中級ステップ(8)

2009年06月29日 | 数独

(2)「候補数を消去する」手筋
 「4国同盟」について更に考察を進めます。図1でf行とi行のどちらかで、「同盟関係」が成立していますが、どちらの行でしょうか。又「何国同盟」でしょう。

             図1
 f行から見てみます。まず「自明の3国同盟」は成立していません。続いて「自明の4国同盟」が成立していないか調べます。この問題では”直感”で読み取れるかも知れません。”直感”で読み取れない場合を想定して、解決への戦略を考えます。
 「自明の4国同盟」に登場するマスは候補数が4個以下です。
{f1、f2、f5、f7、f8}の5個が考察対象になります。
 f1={      4,5,  7,    }
 f2={    3,4,5,        }
 f5={    3,4,5,        }
 f7={1,          7,8,9}
  f8={      4,5,  7,    }
と横に書き並べて見ると、f1,f2,f5,f8の4マスが「自明の4国同盟」を形成することは明らかです。「数独」問題作成とは別の用紙を用意しておいて、上記の様な表作成が、マーちゃんの戦略です。
 ただ、考察するマスが多くて表から読み取れない場合もあるかも知れません。万一「自明の4国同盟」を発見出来ないときはどうするのか?
 「隠れた4国同盟」に考察を変えます。「隠れた4国同盟」に登場できる数は、そのユニット(この場合は行)に登場する回数が4回以下ですから、この場合は{1,3,6,7,8,9}が考察対象です。
(4と5は考える対象から外します)そして、次の様に並べます。
  f1={            7,    }
  f2={    3,            }
   f4={1,        6,  8,9}
   f5={    3,             }
  f6={1,        6,  8,9}
  f7={1,          7,8,9}
  f8={            7,     }
   f9={1,          7,8,9}
 数として{1,6,8,9}を選べば{f4,f6,f7,f9}マスに収まる事が読み取れることと思います。
 かくして候補数{1,6,8,9}が{f4,f6,f7,f9}の4マスで「隠れた4国同盟」形成です。図2にその様子を示します。 


             図2
黄色印4マスが「自明の4国同盟」形成、ピンク印4マスが「隠れた4国同盟」形成です。
 問題はi行の考察です。「4国同盟」成立は「4国同盟」成立の”具体的証拠”から判定できますが、「4国同盟」が成立していないは、どこまで確かめれば良いのかです。次回ブログではその事に触れて「中級ステップ」を終了し「上級ステップ」に移ります。




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第3章 中級ステップ(7)

2009年06月28日 | 数独

(2)「候補数を消去する」手筋
 ⑨「4国同盟」を調べる
 「4国同盟」は「3国同盟」の拡張です。
 「自明の4国同盟」は『ユニット内の4マスに登場する数は4つの候補数のみ』の配置状況を言います。
 「隠れた4国同盟」は『ユニット内の4つの候補数は4マスにのみ存在する』配置状況を言います。
 図1はあるブロックのみを書きました。このブロックで「3国同盟」が成立していますが、「自明の3国同盟」か「隠れた3国同盟」か、分かりますか。直ぐ後ろに解答がありますが、お考え下さい。


     図1


解答

    図2
  この様な問い掛けだと、そう難しくないと思います。ピンク印の3マスに{1、2、9}のみ登場しますから「自明の3国同盟」成立です。黄色印で「隠れた4国同盟」が成立しています。
 確かめて見ますと、{3,4,5、8}の4数はこの黄色印4マスにだけ存在します。
 数が確定していないマスが7個のとき、「自明の3国同盟」と「隠れた4国同盟」が同時成立です。「自明の3国同盟」の3を《3》で表し「隠れた4国同盟」の4を【4】で表すとすると
 7=《3》+【4】 が成立しています。

 さて次の図3の様な状態での同盟関係はどの様に成立しているでしょうか?解答は図4です。


      図3

解答 図4の様にピンク印4マスの{3,4,5,9}で「自明の4国同盟」が成立し、黄色印3マスで{1、6、8}の「隠れた3国同盟」が成立しています。この場合は
  7=《4》+【3】です
  

      図4

 証明は書きませんが、未定マスが7個の場合、次の3通りが成立可能です。
 7=《3》+《4》 (どちらも自明の同盟)
 7=《3》+【4】
 7=《4》+【3】
 「隠れた3国同盟」と「隠れた4国同盟」が同時に成立することはあり得ません(隠れた同盟の定義から明らかですが・・・) 
 この事実は戦略的意味を持ちます。ある方のブログで「6国同盟」が成立していました、と書かれていましたが、仮にその問題のユニットの未確定マスが9としても
  9=《6》+【3】ですから、「隠れた3国同盟」の発見を急げばもっと早い段階で、それほどの苦労なく「同盟」関係を見出したと思います。


      図3
 図3を再掲しました。このユニットでの「同盟関係」攻略の戦略を考えます。
 「自明の同盟」関係を先に考察するのが良いのか「隠れた同盟」関係を先に考察するのがベストかと言う問題です。
 一般的に言って「自明の同盟関係」の方が発見しやすいと思います。そこでマーちゃんは「自明の同盟」関係を「3国同盟」~「4国同盟」まで調べます。(今まで述べてきた理由から「5国同盟」は調べる必要が無いのです)
 図3で、「自明の3国同盟」は成立していませんから「自明の4国同盟」を調べます。「自明の4国同盟」に登場出来るマスは候補数が4個以下ですから、図3のマスでは候補数が
 (4、5、9)、(4,5)、(3,4,5)、(1,8)、(3,5,9)の5マスで、この様な問題では直感で読めてしまうかも知れませんが、
マーちゃんは例えば1を基準にして、1と全く同席(マスを共有しないと言う意味)しない数を探します。直ぐに{4と5}が発見できます。その{4と5}をベースにして、4と5を含むマスを調べると
 (4、5,9)、(4,5)、(3,4,5)、(3,5,9)の4マスが浮かび上がりこの4マスで「自明の4国同盟」が成立する事を発見出来ます。
 不幸にして「自明の4国同盟」が発見出来なかった時は「隠れた3国同盟」へ考察を変えます。
 少し回りくどい言い方になってしまいました。数が未知のマスが7個の場合、「自明の3国同盟」→「自明の4国同盟」→「隠れた3国同盟」の順に考えます。
(「自明の3国同盟」は絶対に見逃すことは無いほど見易い、との判断が働いています。だから「隠れた4国同盟」は考えなくても良い!のです。但し未定数が8又は9となると若干修正しますが)
 次回ブログでは「隠れた同盟」発見の戦略を述べます。


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第3章 中級ステップ(6)

2009年06月27日 | 数独

(2)「候補数を消去する」手筋
 ⑨「3国同盟」
 図1をご覧下さい。ある問題を解いて来て、ここで一見先に進まなくなった状態とします。「X-wing」~「Squirmbag」等の手筋の成立を調べたが、発見出来なかったとします。
 今までは、一部の例外を除いて、ある一つの候補数について消去出来ないかを調べてきました。ここからは複数の候補数について調べを始めます。
 一部の例外と書きましたが、④「自明の2国同盟」と⑤「隠れた2国盟」が例外でした。理論的な流れから行けば、これらの「2国同盟」は複数(2個)の候補数について調べていますから、単独の候補数の後に調べるべきかも知れませんが、実は「2国同盟」を手筋として使う問題が圧倒的に多いのです。そこで戦略的狙いで、やや早めに登場させました。
 複数の候補数について考察するのも2段階あります。
 (a)同一ブロックについて考察する。
  (b)複数のブロックについて考察する。
 です。(a)については、この中級ステップで (b)についてが上級ステップの「XY-Wing」や「浜田ロジック」等で取り上げます。前置きが長くなりましたが、図1に注目して下さい。
 

            図1
 図1の6列の黄色印3マス、ここに登場する数3と4と7は、次の条件を満たしています。
 「この3マスには3と4と7以外の数は登場しない」
 一般的に言えば「3マスに登場する数はx、y、zの3数だけである」この条件を満たすとき、3マスに登場する3数は「自明の3国同盟をなす」と呼ぶ事にします。
 この問題に即して言えば、6列の{a,c,f}マス(黄色印マス)の{3,4,7}は「自明の3国同盟」をなしています。「自明の2国同盟」の拡張です。どの様な効果を他に及ぼすかと言う問題ですが、3と4と7はこの3マス内に収まる=3つセットでの準確定なので、この3マス以外には3も4も7も存在し得ない。言い換えれば候補数が存在すればその数を消去出来る、となります。
 そこでg6のマスから4を消去出来ます。
 消去できる理由付けは違う面からも説明可能です。もしg6=4が成立するとa6、c6、f6に入る数が不足してします!
 ここで重要な点を指摘しておきます。6列の3つのマスa、c、fが「3国同盟」をなしている反面、ここに入れない3国(すなわち3マス)はどうなっているのか。こちらも言わば反「自明の3国同盟」の立場から「3国同盟」をなしているのが当然ではないでしょうか!
 しかし「自明の3国同盟」の定義「3マスに登場する数は3つの数のみ」を満たしていません。ただ次の条件は満たしています。
 「3つの数は3マスにのみ」存在する。同じような条件に見えるかも知れませんが違います。6列のd、g、h行(ピンク色印マス)の候補数を良く見ると、この3マスでは数は{2,4、6,8}の4個が登場し「自明の3国同盟」を成してはいませんが、{2、6、8}の3数に限定すると3マス{d、g、h}にのみ存在します(他のマスに2、6,8は存在しません。確かめて見てください)この時この3数の登場する3マスを「隠れた3国同盟」と呼びます。
 「自明の3国同盟」はその3数の存在がはっきりと、(見える人には)見えるから「自明の」が付き、「隠れた3国同盟」はその3数以外の数も登場し来て「3国同盟」が言わば隠れる様に存在していることから「隠れた3国同盟」との名が冠せられていると思います。


            図2
 黄色印3個が「自明の3国同盟」でピンク色印3個が「隠れた3国同盟」です。「自明の3国同盟」の成立故に「隠れた3国同盟」を構成するマスから、(存在すれば)3と4と7を消去します。この局面ではg6から4が消去され図2に至ります。
 「隠れた3国同盟」は{2、6、8}のみから成立するとして、6列の{d、g、h}行から、これらの候補数以外の数を消去すると考えても良いと思います。図2は消去後の局面です。


            図3
 その後の展開を一部書きますと、g行に候補数4は2個(g2、g3の赤色マス)存在し、しかもⅦブロック内の2個ですから、i2から候補数4が消去され、i4=5が確定、連鎖反応的にi4=5、c4=4が確定し、それに伴い候補数を消しゴムで消して図4に至りました。


            図4
 例題6 さて図4から3国同盟を探してください。解答は図5です。




                           図5
 黄色印のマスが「自明の3国同盟」であり、ピンク印マスが{4,5,9}の「隠れた3国同盟」です。
 最大のポイントは未確定6マスが二つの3国同盟に分かれたと言うことです。
 6=3+3 次回のブログでは、この点の考察を推し進めて行きます。

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