ΔΣ変調とAD変換

そもそも、隣の机の山田君が「ホロンさん、オーディオでよく言う1ビットディジタルって、単なるパラレル-シリアル変換ですよね？」とたずねられ、「ちゃうちゃう、ぜんぜんちゃう」と答えたあと言葉が続かず、絶句してしまったことがきっかけで、改めてΔΣ変調について調べることになりました。ΔΣ式AD変換器が20年ほど前に登場したことは知ってはいましたが、実際に使う機会もなく、特に頓着することなく今日まできました。で、いまさらですがΔΣ変調の概要について、私が理解した範囲で書いてみようと思います。

図1に、一般のAD変換とΔΣ変調のブロック図を示します。AD変換器は3bit精度、サンプリング周波数はFs=3kHz、ΔΣ変調はFs=9kHzとします。
　
図2に3bitAD変換出力とΔΣ変調出力を示します。
AD変換された3bitのディジタル信号は、アナログ信号と1：1でリニアに対応します。しかしΔΣ変調された信号は、これは一体何を意味しているのでしょう。
（図案は、三重大学　工学部　道木慎二さんのプレゼン資料を参考にさせていただきました）

アナログ信号をΔΣ変調した信号は、図2に見るように、振幅（縦軸）は0と1の値しか持たないのでデジタル信号と言えます。しかし、時間軸（横軸）で見ると、単位時間辺りのパルス数（密度）が異なっているので、これはアナログ信号と言えます。つまり、ΔΣ変調された1bitの信号は、ディジタルとアナログの両方の成分を持っているということになります。（FM変調やPWMに似たものと考えてもいいでしょう）

ΔΣ変調信号をアナログLPF（ローパスフィルタ）に入力するとどうなるでしょう。
図3にその様子を示します。

このように、元のアナログ信号に戻り、これは「アナログ復調」したことになります。しかし、アナログ信号を変調して、直後にアナログ復調しても意味がありません。多かれ少なかれ信号を劣化させるだけです。これはむしろ、ΔΣ変調信号をディジタルフィルタに入力することにより、ディジタル復調するメカニズムの説明のための話法として便利です。

では、ΔΣ変調信号をディジタルフィルタLPF（マルチビット出力）に入力するとどうなるでしょう。
図4にその様子を示します。

このように、ΔΣ変調信号はマルチビットのディジタル信号が出力されます。これは「ディジタル復調」したと言え、これこそがΔΣ式AD変換の動作原理そのものです。

【ΔΣ式AD変換のサンプリング周波数】

①ΔΣ変調により標本化（サンプリング）と量子化が同時に行われ、サンプリング速度がAD変換精度（分解能）を決める。

②つまり、AD変換において発生する量子化ノイズの周波数を、元のアナログ信号の周波数に対して高周波に追いやるほどAD変換精度が上がる。よって、サンプリング周波数は高いほど望ましい。

③この比率をどの程度にするかは、最終的に必要なbit長で決定される。結果としてナイキスト周波数の数十倍から数万倍の周波数でサンプリングするので、これをオーバーサンプリング法（oversamplingmethod）という。

④最終的に16bitのディジタル出力を得るためには、少なくとも160倍程度のオーバーサンプリングが必要である。

ナイキスト周波数とは、ある信号を標本化するとき、そのサンプリング周波数 Fsの1/2の周波数を言います。ナイキスト周波数を超える周波数成分は、標本化した際に折り返し (エイリアシングとも言う)という現象を生じ、再生時に元の信号として忠実には再現されません。ハリー・ナイキストにより1928年に予想されたこの再現限界の定理は、「標本化定理」（サンプリング定理）と呼ばれます。オーディオ帯域のサンプリング周波数が44.1kHzであるのは、可聴帯域限界の20kHzをナイキスト周波数としているということですね。

次回はDA変換への応用を考えてみましょう。

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