単振子の運動 (3)

phys.pdf phys-s.pdf 記事一覧

[2] 差分方程式の導出

後回しにしていた保存量

    H(t) = (1/2)(dx/dt)² + (1/2) a x² + (1/3) b x³ +(1/4) c x⁴

の差分化を紹介します．ポイントは「保存量も時間反転に対して不変に」すべきであるとして，上図のように離散化します（記号はこのブログに合わせて変更しています）．c_i は

    c₁ + c₂ = a/4,   c₃ = b/6,   c₄ = c/6

となる定数です．上図の中括弧内の式を 0 とおく差分方程式の解は H_n+1 = H_n を満足します．

補足１： [2] p.89 に「失敗の原因は・・・振動方程式は・・・したがって差分方程式も・・・（ t → －t または＋δと－δの入れ替え）によって不変であるべきであり」と書かれていますが，微分可能な点では右極限（Δt → ＋0）と左極限（Δt → －0）が一致するので，δに関しては振動の場合に限りません．x_n+1 と x_n の混在についてはδだけでも説明できるような気がします．

補足２： 保存量が (1/2){ω(t)}² + {1 － cos θ(t)} のときに同様の技法 （因数分解できる形に修正） を適用することは難しそうです．なお p.91 の「・・・の２乗以上の項が現れ，解の一般性が失われるからである．」の意味は理解できていません．

補足３： 中点法では (1/2)(dx/dt)² + (1/3) b x³ が保存量のときも x(nΔt + Δt/2)³ を (x_n³ + x_n+1³) / 2 で近似するので，Δt → 0 の極限でしか保存量に一致しません．