単振子の運動 (5)

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sinθの３次近似による計算

微分方程式

    d²x/dt² + a x + b x2 + c x3 = 0

で x = θ, a = 1, b = 0, c = 1/6 とおいて d²θ/dt² = －sinθ を近似したときの計算式を上図に示します．また，２次のシンプレクティック法およびこの式のExcel による計算式を補足１，補足２に示します．これらは「単振子の運動 (1)」で示した式より簡単ですが，高次の近似であるため良好な結果が得られます．中点法では A1 を 0.3 にすると急速に減衰します．なお，中点法の「=D2+J2」「=E2+K2」等を「=D2」「=E2」等に変更すると２次の陽的ルンゲクッタ法による計算になります（このとき振幅は増大します）．

中点法（A1: 0.1） では  (B570, B571, B572)=(-0.993750228, -0.995159253, -0.988191219)
補足１ (A1: 0.3) では  (B189, B190, B191)=(-0.94491644,  -0.998367653, -0.976165956)
補足２ (A1: 0.3) では  (B190, B191, B192)=(-0.904983076, -0.992878482, -0.980457274)

補足１： ２次のシンプレクティック法の Excel による計算式．

A1: 0.1, B1: 1, C1: 0, A2: =A1/2

D101: =C101-A$2*SIN(B101)
B102: =B101+A$1*D101
C102: =D101-A$2*SIN(B102)

補足２： 上図の Excel による計算式．

A1: 0.1, A2: =A1*A1, A3: =1+A2/4, B1: 1, B2: =COS(A$1)

C102: =A$3+A$2*B102*B101/6
D102: =(2*B102-B101)-A$2*(2*B102+B101)/4
B103: =D102/C102