ぼんさいメモ

介護用ベッドで考えたり、調べたことのメモです。(妻に感謝)
転載:自由(校正・編集不可)。内容:無保証。

G6N%2:実数の計算

2016-10-15 15:31:11 | 学習


@http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/a8fa2abe9b99100a86d73ec2d0624499
=G6N%2:実数の計算
/GA9


%01:まえがき
G6E%2:実数の計算(ぼんさいノートmath.pdf第2章[#1])への易しい補足です.
・背景色は文意には影響しません.[G8E%3]
・よく分らない文や語句は無視してください.
・ぼんさいノートmath/pdf,phys.pdfで使用した慣用の記法に反した赤い文字列
 背景色にも薄茶色を使っています. [G8E%63]
%02:目次
%20:実数([G6E%2]では%20)
%21:加算と乗算([G6E%2]では%21)
%22:単位元と逆元([G6E%2]では%22)
%23:べき乗([G6E%2]では%23)
%24:計算例([G6E%1]では%24)
%25:不等式([G6E%2]では%25)
%26:絶対値とべき乗根([G6E%2]では%26)
%27:級数([G6E%2]では%27)
%03:補遺(G6E%03参照)
%031:実数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
%031:実数直線
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A
%0311:無限遠点
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E9%81%A0%E7%82%B9
%32:算術(四則演算)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93
%321:分数の計算
http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/c2848c0e107087879bfddf2c8e666817
%3211:「分数の計算」を読むための説明
http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/d4cf3ef95aa5ddbf429e5eb4a3bab397
%033:体
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
%0331:体(たい) [物理のかぎしっぽ]
http://hooktail.sub.jp/algebra/FieldDef/
%034:単位元
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83
%035:逆元
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83
%03A:G6J%0:gooブログで使用する特殊文字
%03B:G6K%0:gooブログの記事の背景色[G8E%3]
%03C:G7Q%0:gooブログで用いる数学記号
%035:逆元
/http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83
/%036:多項式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
%037:因数分解
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3
%0371:因数定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
%038:代数学の基本定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
%039:直交座標系
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB
%0391:極座標系
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB %03A:G6J%0:gooブログで使用する特殊文字

%03B:G6K%0:gooブログの記事の背景色
%03C:G7Q%0:gooブログで用いる数学記号
%04:訂正
%041:[%G6E%203]の内容を変更しました.
%05:質問の例
・負の数のかけ算 - わさっき - はてなダイアリー
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5058325.html
%051:負数の掛け算(中学1年で学ぶようです).
G7B%11:A 数と式(学習指導要領からの引用)
イ 小学校で学習した数の四則計算と関連付けて,
正の数と負の数の四則計算の意味を理解すること。
%06:
回答の例
%061:/【中学数学】正の数・負の数の計算-加法,減法,乗法,除法
http://ronri2.web.fc2.com/sansu/sefu.html
%062:「a(b+c)=ab+ac」が「a<0」でも成立すれば次のように計算が簡単になる.
・e.g. 98×17=(100+(-2))×17=100×17+(-2)×17=1700+(-34)
・実際に計算して比較してください(正の数の分配法則は小学校で学ぶ)
%063:この資料の[G6E%221]
e.g. (-3.5)*b=-(3.5*b)=-(b+b+b+0.5*b)
G6E%20:実数
いくらでも精度よく分数で近似できる数を
有理数といい,有理数でない実数を無理数という.
G6E%201:有限桁の小数は分数で表現できる.
・e.g.3.1416=31416/10000
G6E%202:循環小数は分数で表現できる.
G6E%2021:e.g.n=2.3434343434・・・とすると100n=234.343434・・・
(100-1)n=232
G6E%20212:e.g.n=0.66666666・・・とすると10n=6.6666666・・・
(10-1)n=6, (n=6/9=2/3)
・[%21][%22]は[%20]用の補題
G6E%203:任意の実数は数直線上の点と1対1に対応する.
・[G6E21]の四則演算の公式と数直線は実数の性質を理解するための車の両輪
G6E%2031:「xy平面」内の点「`xy(x,0)2」の集合を数直線という.
実数「x」「y」の対「`(x,y)2」を平面上の点と1対1に対応させた平面を「xy平面」という.([G6E%039]参照)
・「`xy(x,0)2」の背景色意味は[G8E%11]参照.
%20311:`xy(x,0)2」のような表現は一般には通用しません.
レポートや答案には使わないこと.

G6E%2031:
実数「a」「b」の対「`(a,b)2」に対応させたxy平面上の点を「`xy(a,b)」で表わす.
・「xy平面」上の点「`xy(x,0)2」の集合(x軸)は数直線である.
・「`xy(a,b)2」の背景色の意味は[G8E%11]参照.
G6E%2032:無限遠点
・xy平面上の点「`xy(0,1)2」を中心とする円と点「`xy(x,0)2」を通る直線との交点を「P(x)1」とすると,「x→±∞」のとき「`xy(0,1)2`xy(0,2)2」である.
「x→±∞」=「「x→∞」」∨「x→-∞」(cf.「x2=1」=「x±1」)
・(i.e.「P(x)1」=`xy(cos(x-π/2),1+sin(x-π/2))2」(i.e.一意に定まる)
G6E%2032:・点「`xy(x,0)2」が数直線上を「1cm/s」で移動するとき,点「P(x)1」は円周上を「1cm/s」で移動する.
%20321:ここでは、数直線を学ぼう。
http://members3.jcom.home.ne.jp/actaba/e_suutyokusenn.html
%20321:数直線の描き方
(1)数直線の原点「`xy(0,0)2」から「3.14mm」右の点の目盛を「3.14」にする(他の目盛も同様)
・原点「`xy(0,0)2」から「3.141592mm」右には目盛が「3.141592」である点が存在すると考える(数直線上には無数の点が存在する)
(2)原点「`xy(0,0)2」から「3.14mm」左の点の目盛を「-3.14」にする(他の目盛も同様)
%20322:無限遠点

数直線の上側で原点「`xy(0,0)」に接する半径「1」の円を考え,原点から左回り
(または右回り)に距離「π」だけ移動して到達する点は`xy(0,2)である.
・数直線上の点「`xy(x,2)`xy(-2000π,0)」から「`xy(2000π,0)まで移動するとき,点`xy(0,2)
を「2000回」通過する.このことを覚えておくと電気工学を学ぶとき非常に参考になる.
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2010/06/01/1282000_13.pdf

G6E%21:加算と乗算
実数「x」,「y」,「z」から「x+y」を求める演算を加算,「x*y」を求める演算を乗算といい,任意の実数に対して (1), (2), (3)が(公理として)成立する.
%221:教科書等では全称記号や存在記号([G6E%1])はあまり使わないので[G6E%0]の背景色が薄茶色の変数は全称記号が省略されていると思ってください.
(1)「x+y=y+x」「x*y=y*x」(交換法則)
(2)「(x+y)+z=x+(y+z)」「 (x*y)*z=x*(y*z)」(結合法則)
(3)「x*(y+z)=x*y+x*z」(分配法則)
・gooブログの記事では(「+」「-」「*」「/」を用いる).[%03A]
G6E%22:単位元と逆元
%221:任意の実数「x」に対して定数「0」「1」が存在して「0+x=x」「1*x=x」.
%222:任意の「x」「y」に対して「x+z=y」となる「z」が存在する。これを「y-x」とかき,「0-x」を「-x」とかく.
%223:任意の「x」「y」に対して「x=0」でなければ「x*z=y」となる「z」が存在する.これを「y/x」とかく.
・「x」「y」から「y-x」 を求める演算を減算,「y/x」を求める求める演算を除算という.
・「0」「1」は単位元[%034],「-x=0-x」「1/x」は逆元[%035].
G6E%224:任意の「x」「y」「z」について[G6E%21][G6E%22]の公式(公理)が成立するので「-x=(-1)*x」(公理でなく公式)
・任意の「x」について「0=(1+(-1))*x=x+(-1)*x」

・「x+z=0」とすると,「z=0-x」
負の数を掛けるたびに積の符号が反転する.
G6E%2241:高校生のときに読んだ参考書(書名は失念)の内容の紹介です.


[G6E%21],[G6E%22]の公式から
「0=0*b=(a+(-a))*b=(a*b)+((-a)*b)」
したがって「(-a)*b」は「a*b」の逆元


G6E%23:べき乗
「0」でない「x」に対して「x=x1」とし,「xn+1」を「∀(nN),xn+1=x*xn」で帰納的に定義する.「∀(nN),xn+1=x*xn

・「0」でない「x」に対して「x0=1」とし,「xn」を「∀(nN),xn=x*xn」で帰納的に定義してもよい(こちらの方が使いやすい?).
%2301:こちらの定義がお薦めです(「00」は考えません).
指数の「n」の背景色を黄色にできない(面積が小さすぎ?)
 ・フォントサイズ6(24pt)は不可.
%231:定義から次の公式(指数法則)が得られる.
x」「y」を正の数,「m」「n」を自然数とすると,
(1)(xm)(xn)=xm+n
(2)「m>n」のとき(xm+n)/(xn)=xm-n
(3)(xm)n=xmn
(4)(xy)n=(xn)(yn)
(5)(x/y)n=(xn)(yn)
・「m」「n」を整数に拡張して考えることが多い
・「y1=y」「(y)(1/y)=1」「1/y=y-1」).
 (2)は「xm+n/xm=xn」((1)に統合可)
 (5)は「(x/y)n=xny-n」((4)に統合可)
・詳しくは次の資料の目次「4 性質 4.1 指数法則」参照
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97
G6E%24:計算例
(1)(x+a)2=x2+2a*x+a2
・「x2+2a*x+a2=b」ならば「(x+a)2=b-a2
(2)=x2+(a+b)*x+a*b=(x+a)*(x+b)
・e.g.「2+3=5」「2*3=6」だから「=x2+5x+6=(x+2)*(x+3)」
(3)x3+2x2-x-2=(x-1)*(x+1)*(x+2)
・「f(x)=x3+2x2-x-2」とすると「f(1)=0」だから「f(x)」は「(x-1)」で割り切れる.[G6E%037](因数定理)
(4)「(x2+3x+2)/(x+4)=(x-1)+6/(x+4)」
・「x-1」は商,「6」は剰余([1] [2] [3]参照)
(5)「(x/2)+(y/3)=(3*x/3*2)+(2*y/2*3)=(3x+2y)/6」「(x/2)*(y/3)=(x*y)/6」)

G6N%25:不等式
任意の実数「x」に対して次の(1), (2)が[公理として]成立する.
「x < 0」を「x は負」, 「x>0」を 「x は正」という.
(1) 「x0」 の一つのみ真 .(=G8F%0:gooブログのエディタ[%4]参照)
「x0」 の一つのみ真 .
{x<0},{x=0},{x>0}の一つのみ真 .
(2)「x>0」 , 「y>0」 ならば 「x+y>0」「x*y>0」.
であり,「x0」,{x<y}={x-y<0},{x>y}={x-y>0},
「x`≦y」=「x<y」∨「x=y」,「x`≧y」=「x>y」∨「x=y」.

G6N%26:絶対値とべき乗根
実数「x」の絶対値「`|x|」を
「(x`≧0)⇒(`|x|)=x」,「(x`<0)⇒(`|x|)=-x」
で定める.
実数「x」に対して「y2=`|x|」となる実数「y」(「`|x|」の平方根)が存在する.
・一般に「yn=x」となる実数「y」を「x1/n」と書き,「xのn乗根」という.
/「41/2=±2」「(-8)1/3=-2」
G6N%27:級数
一般項が「xk」である数列{xk}に対して
y(n)=_{k=0}^{n}xk}」を部分和といい、「y(n)」の「n→∞」とした極限を級数という. 
・何度修正しても「n→∞」の「∞」が小さくなります(フォントサイズ無効)
e.g.「xk=rk」のとき「y(n)=(1-rn+1)/(1-r)」(等比級数
%271:「r=2-1」のとき「y(n)=2(1-rn+1)」この例では「`y()1」は確定しているので背景色は白のままです.(「xk」も同様)
以下は[G6E%0]用の下書きです.


 



・長方形の面積の計算による分配法則の説明を検討中
分配法則
[1] [2]

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