四面体の「内心I」と「傍心E_A」の関係など 2009.6.18(木)

「四面体」の「内心I」と「傍心E_A」の関係など　 2009.6.18(木)


1.「四面体ABCD」の「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」の復習

　mは自然数、E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、「ベクトルAB」などを(→AB)などで表す。

「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^m　(m≧3)としておく。

「四面体ABCD」の４つの側面の△BCD，△ACD,△ABD，△ABCの面積をそれぞれ　S_A，S_B，S_C，S_D　…（1.1.1)とし、
　2F=S_A＋S_B＋S_C＋S_D…（1.1.2)　とおくと、「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は
　E^m　内の任意の点Pにたいし、
　
　(→PI)＝[1/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)][(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]　…(1.1.3)

　　　　＝[1/2F][(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]　　　　　 …(1.1.4)

　であった。

　つまり、一般の点T∈E^3の「ベクトルによる重心座標表現」を、

　　　　(→PT)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD)　　…(1.1.5)　かつ
　　　　　　　　　　κ＋λ＋μ＋ν＝１　　　　　　　　　　…(1.1.6)　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　としたときに、

　　　κ＝(S_A)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　，λ＝(S_B)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　　

　　　μ＝(S_C)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　，ν＝(S_D)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　　…(1.1.7)　になると

　　いうことである。　そして　κ≠１　…(1.1.8)である。
　そこで、頂点Aに着目して直線AIを考え、△BCDとの交点をI_Aとすれば、
　前回の「2009.05.28(木)のBlog」の　[命題1.1]および、[命題1.3]から、
　　AI：I(I_A)＝(1－κ)：κ＝(λ+μ＋ν)：κ＝(S_B＋S_C＋S_D)：S_A　…(1.1.9)　かつ

　λ＋μ＋ν＝１－κ≠0　(　∵(1.1.8)　）だから、△BCD上の点(I_A)の「△BCD」に関する
　「ベクトルによる重心座標表現」はE^m　内の任意の点Pにたいし、
　　
　　(→PI_A)＝[1/(λ＋μ＋ν)][λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD)]

　　　　　　＝[1/(S_B＋S_C＋S_D)][(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]　…(1.1.10)
　また、
　　点(I_A)の「四面体ABCD」に関する「ベクトルによる重心座標表現」は

　　(→PI_A)＝[1/(λ＋μ＋ν)][λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD)]

　　　　　　＝[1/(S_B＋S_C＋S_D)][0×(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]　…(1.1.11)である。

　　(1.1.9)式により、△BCD上の点I_Aは次のようにして決まる。すなわち
　
　△BCDの辺　CB，BD,DCをS_B：S_C，S_D：S_B，S_C：S_Dの比に内分する点をそれぞれＮ，Ｍ　，Ｌとすれば
「Ceva（チェバ)の定理」から3線分ＢＬ，ＣＭ，ＤＮは1点で交わる。これが　点　I_Aなのである。
　また頂点Aと「上のように3つの比S_B：S_C，S_D：S_B，S_C：S_D」で「Cevaの定理」から決まる△BCD上の点I_Aとを
　結ぶ「直線」を以下 「頂点Aから引いた『内心線』」　とよぶことにする。
すると「四面体ABCD」の４つの頂点A，B，C，Dからの「4本の『内心線』」は唯一つの点で交わる。その点が「内心I]である。
以上のことなどから次のことがいえる。

2.
[定理2.1]
「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^m　(m≧3)としておく。「四面体ABCD」の「内心I」を作図する(求める)には
　次の３つの方法が考えられる。

(1)まず、「四面体ABCD」の側面の△BCD，△ACD,△ABD，△ABCの面積　S_A，S_B，S_C，S_Dを計量しておく。
　次に　たとえば、△ABCの3辺を時計回りに見て，BA，AC，CBを「S_A：S_B，S_C：S_A，S_B：S_C」の比に内分する点を
　それぞれＮ，Ｍ，Ｌとし、線分ＡＬ，ＢＭ，ＣＮのただ一つの交点として決まる△ABC上の点をI_Dとする。
　そのとき、「内心I」は「線分D(I_D」を(S_A＋S_B＋S_C)：S_Dの比に「内分する点」として求まる。…(2.1.1)

(2)　(1)と同様に、

　　まず、「四面体ABCD」の側面の△BCD，△ACD,△ABD，△ABCの面積　S_A，S_B，S_C，S_Dを計量しておく。
　(1)のように比と「Cevaの定理」で決まる△BCD，△ACD，△ABD，△ABC上の点をI_A,I_B，I_C，I_Dとして、
　4本の『内心線』　
　　
　　AI_A，BI_B，CI_C，DI_Dの交点が「内心I」になる。　…(2.1.2)
(3)　
　６つの二等分面から求める方法　

　　今「四面体ABCD」がボール紙でできていて△BCDが底面で、頂点Aが上方にあり、それを外から見て
　△ABCが左側、△ABDが右側に、その共通な辺ABが目の前にある状況を想像して欲しい。

　この２つの面によってできた図形、いわゆる「二面角」を次のように2等分する。「山折りになった」辺ABの部分を
「四面体ABCD」の「外部から内部」へ向かって点AからBへ包丁で切って行くのだが、
　この2面角の作る「内部の角」(角度<180°）を「2等分する」ように切って行くのである。
　このとき「包丁の動いた部分を拡大して」１つの「平面」ができる。これが
　△ABCと△ABDが作る「二面角」の「二等分面」である。この「二等分面」は今は辺ABに沿って切って
　いったのである。そこでこの「二等分面」を単に、「辺ABでの二等分面」と呼ぶことにする。

　「四面体ABCD」の1つの辺ABに対して丁度1つ「二等分面」ができる。「四面体」には辺が6つ
　あるから、計6枚の「二等分面」ができる。この「6枚の『二等分面』の交点」が「内心I」である。
　　実際には、おそらくは、辺ABでの「二等分面」、辺ACでの「二等分面」、辺ADでの「二等分面」と、
　　もう一つ例えば、辺BCでの「二等分面」の計4面の交点などとして「内心I」は決まるであろう。
　
「証明」
　(1)(2)については、[定理2.1]の上で説明した。
　(3)については、初等幾何の方法で証明しよう。「三垂線の定理」を用いる。頭のなかに図を浮かべながら読んで下さい。

　まず、「内心I」があるとする。点Iから△ABCへ引いた垂線の足をI_D，△ABDへ引いた垂線の足をI_Cとする。

　I(I_D)＝I(I_C)＝内接球面の半径　…(2.1.3)　である。点Iから辺ABに垂線を引き、…(2.1.4)（ここがポイント）
　
　その交点をLとしよう。(L∈AB）　点Ｌと点I_D,I_Cをそれぞれ結び、△IL(I_D)と△IL(I_C)を考える。II_D，II_Cは
　
　それぞれ△ABC,△ABDへの垂線であるから、△IL(I_D)と△IL(I_C)は∠I(I_D)L＝∠I(I_C)L＝90°…(2.1.5)の
　
　直角三角形である。そして、斜辺のILは共通で　II_D＝II_Cだから、△IL(I_D)≡△IL(I_C)　…(2.1.6)　となる。
　
　ゆえにL(I_D)＝L(I_C)　…(2.1.7)　ここで、△ABCを底面と考えてその上に垂直に立っている直角三角形IL(I_D)と、
　
　辺ABとの状態を見てみると　I(I_D)⊥△ABCだから　AB⊥I(I_D)　またAB⊥IL　(∵(2.1.4)）　よってAB⊥[平面IL(I_D)]
　
　ゆえに　(I_D)L⊥ABとなる。　同様にして(I_C)L⊥AB　となる。よって　3点(I_C)，(I_D)，Lを結んで△(I_C)L(I_D)を

　作れば∠(I_C)L(I_D)　は「△ABCと△ABDの造る二面角のなす角」　…(2.1.8)　になる。よって線分(I_C)(I_D)の中点を

　 Mとすれば、 △I(I_D)(I_C)はI_D＝I_Cの二等辺三角形だから、(I_D)(I_C)⊥IM　また△L(I_D)(I_C)はL(I_D)＝L(I_C)の

　二等辺三角形より(I_D)(I_C)⊥LM　かつ　∠(I_D)LM＝∠(I_C)LM　。ゆえに辺ABと線分MLの造る平面は

「辺ABでの二等分面」であり、(I_D)(I_C)⊥「辺ABでの二等分面」、また(I_D)(I_C)⊥[平面ILM]となるから

　その「二等分面」は「内心I」を通る。　
　　
　（　[定理2.1]の「証明」終わり　）
　　
3.
「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^m　(m≧3)としておく。
「定理3.1]
　頂点Aから引いた「内心線　A(I_A)」上の任意の点Tをとる。このとき、点Tから△ACD、△ABD　△ABC,△BCDに
下した垂線の足を例によってそれぞれT_B，T_C，T_D,T_Aとすれば　⇒　TT_B＝TT_C＝TT_D　である。
　
　　すなわち「内心線　A(I_A)」上の任意の点Tから面△ACD、△ABD　△ABCまでの「距離は等しい」。
　　
　　厳密には「符号も考えて」点Tの四線座標を(α(4),β(4),γ(4),δ(4))とすれば、⇒　β(4)＝γ(4)＝δ(4)　
「証明」
「内心I」及び点Tの「四面体ABCD」に関する「重心座標」をそれぞれ　(p,q,s,t)、(κ,λ,μ,ν)とする。
　すなわち　任意の点P∈E^mに対して
　　(→PI)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD ) …　(3.1.1)
　　かつ　　　　κ＋λ＋μ＋ν＝1　　　　　　　　　　 …　(3.1.2)　また
　　(→PT)＝p(→PA)＋q(→PB)＋s(→PC)＋t(→PD ) 　　 …　(3.1.3)
　　かつ　　　　p＋q＋s＋t＝1　　　　　　　　　　　　 …　(3.1.4)　とする。

　ここに　κ＝(S_A)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　，λ＝(S_B)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　　

　　　　　μ＝(S_C)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　，ν＝(S_D)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　　…(3.1.5)　である。
　　また　1－κ＝(S_B＋S_C＋S_D)/[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]　…(3.1.6)となる。

　点Tは「内心線　A(I_A)」上にあるから、(→AT)＝u(→AI)　…(3.1.7)　となる実数uがある。
　これは(3.1.1),　(3.1.3)から
　　　q(→AB)＋s(→AC)＋t(→AD)＝u×[λ(→AB)＋μ(→AC)＋ν(→AD)]　…(3.1.8)　となる。
　(→AB)，(→AC)，(→AD)は一次独立だから、
　　q=uλ,s＝uμ，t=uν　…(3.1.9)　となり、2F＝S_A＋S_B＋S_C＋S_D　…(3.1.10)とおけば
　　(3.1.5)　から　q=u(S_B)/(2F)　，s=u(S_C)/(2F)，t=u(S_D)/(2F)　…(3.1.11)　となる。　
　　よって　また　p＝1－(q＋s＋t)＝1－u(λ＋μ＋ν)＝1－u(1－κ)　すなわち
　　　p＝1－u(1－κ)＝1－u(S_B＋S_C＋S_D)/(2F)　　…(3.1.12)
　
　　ここで　点Tの「四線座標」(α(4),β(4),γ(4),δ(4))と「重心座標」(p,q,s,t)の間には
　　α(4)＝p(3V)/(S_A)　,β(4)＝q(3V)/(S_B),γ(4)＝s(3V)/(S_C),δ(4)＝t(3V)/(S_A)　…(3.1.13)の関係がある。　
　(3.1.11)を(3.1.13)に代入して　
　　　　α(4)＝[1－u(1－κ)](3V)/(S_A)＝[1－u(S_B＋S_C＋S_D)]/(2F)×[(3V)/(S_A)]　…(3.1.14)
　　　また　
　　　　β(4)＝q(3V)/(S_B)=u(S_B)/(2F)×[(3V)/(S_B)]＝u(3V)/(2F)となる。同様にして　γ(4)＝u(3V)/(2F)
　　　　δ(4)＝u(3V)/(2F)　こうして

　　α(4)＝[1－u(1－κ)](3V)/(S_A)＝[1－u(S_B＋S_C＋S_D)]/(2F)×[(3V)/(S_A)]　…(3.1.14)　かつ
　　β(4)＝u(3V)/(2F)　，γ(4)＝u(3V)/(2F)　，δ(4)＝u(3V)/(2F)　　…(3.1.15)
　　ゆえに　β(4)＝γ(4)＝δ(4)＝u(3V)/(2F)　…(3.1.15)　ここで　内接球面の半径を　rとすれば　
r＝(3V)/(2F)だから 　　β(4)＝γ(4)＝δ(4)＝ur　　…(3.1.16)　と書くこともできる。
　 （[定理3.1]の「証明」終わり　）
[命題3.2]
　　記号は上の通りとする。「頂点Aからの『内心線』A(I_A)」(注：　直線である ），I_A∈△BCDについて
　　点　I_Aの「四面体ABCD」に関する「四線座標」は
　　(0，3V/(S_B＋S_C＋S_D)，3V/(S_B＋S_C＋S_D)，3V/(S_B＋S_C＋S_D)　）である。
　つまり　点I_Aから　△BCD，△ACD，△ABD，△BCDまでの距離は　それぞれ
　　0，3V/(S_B＋S_C＋S_D)，3V/(S_B＋S_C＋S_D)，3V/(S_B＋S_C＋S_D)　である。
　
また　点I_Aは△BCD上にあるからI_Aの「△BCD」に関する「三線座標」も考えられる。それを(β(3),γ(3),δ(3))
　　とすれば、　
　　β(3)＝2(S_B)(S_A)/[f(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)]，γ(3)＝2(S_C)(S_A)/[a(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)],
　　δ(3)＝2(S_D)(S_A)/[e(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)]　となる。
　
ここに△BCDの3辺は　BC＝a，CD＝f，DB＝e　としてある。
　
「証明」
　「頂点Aからの『内心線』A(I_A)」上の点Tが　I_Aとなるのは(1.1.9)の式より、(→AT)＝u(→AI)において　
　　u＝1/(1－κ)のときである。そこで「定理3.1]の(3.1.14)(3.1.15)及び(3.1.6)から、
　　α(4)＝[1－u(1－κ)](3V)/(S_A)＝0，
　　β(4)＝u(3V)/(2F)＝[1/(1－κ)](3V)/(2F)＝[S_A＋S_B＋S_C＋S_D]/(S_B＋S_C＋S_D)×(3V)/(2F)
　　　　＝(3V)/(S_B＋S_C＋S_D)　（　∵　2F＝S_A＋S_B＋S_C＋S_D　としてあるから　）
　同様に　γ(4)＝(3V)/(S_B＋S_C＋S_D)　，δ(4)＝(3V)/(S_B＋S_C＋S_D)
　　次にI_Aの「△BCD」に関する「重心座標」は
(S_B/(S_B＋S_C＋S_D)，(S_C)/(S_B＋S_C＋S_D)，(S_D)/(S_B＋S_C＋S_D)）
　　ゆえにI_Aの「△BCD」に関する「三線座標」(β(3),γ(3),δ(3))は,△BCDの面積＝S_A　だから

　β(3)＝(2S_A)/f×(S_B)/(S_B＋S_C＋S_D)，γ(3)＝(2S_A)/e×(S_C)/(S_B＋S_C＋S_D)，
δ(3)＝(2S_A)/a×(S_D)/(S_B＋S_C＋S_D) となり、証明された。
　　　([命題3.2]の「証明」終わり）
　　　　
４.

「四面体ABCD」の「内心I」と「傍心E_A」の位置関係　

(1)　「角A内で△BCDで『傍接する』傍接球面」の「中心」を「E_A」で表わすことにする。
　「2F=S_A＋S_B＋S_C＋S_D」・・・（4.1.2)とおけば，　
　　－S_A＋S_B＋S_C＋S_D＝2F－2(S_A)＝2(F－S_A）・・（4.1.3)と　なるので,
　「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」は次の通りであった。

「角A内で△BCDで『傍接する』傍接球面」の「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」は
　任意の点P∈E^m(ただし　m≧3)に対して、

　(→PE_A)＝[1/2(F－S_A)]×[－(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]・・・（4.1.1)

　また[傍接球面E_A]の半径r_Aは
　　
　　r_A＝(3V)[(2(F－S_A)]＝[√{detJ(3)}]/4(F－S_A)　・・（4.1.2)であった。

　そこで次の[定理4.1]を示す。
[定理4.1]
「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^m　(m≧3)としておく。「四面体ABCD」の「内接球面」の半径をr，
　[傍接球面E_A]の半径r_Aとする。
　　このとき、頂点A、「内心I]，I_A，「傍心E_A」は　この順に「Aから引いた『内心線』」上にあり、
　 AI：A(E_A) ＝(－S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)=r　:　r_A　　・・・（4.1.3)
　 AI：I(E_A) ＝(－S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：2(S_A)　　　　　　　　　　　　　　　・・・（4.1.4)
　A(I_A)：A(E_A)＝(－S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：(S_B＋S_C＋S_D)　　　　　　　　　 ・・・（4.1.5)
「証明」　
「内心I]の［ベクトルによる重心座標表現」はE^m　内の任意の点Pにたいし、

　(→PI)＝[1/2F][(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]　　　　・・・(1.1.4)
　そして「内接球面」の半径をrとすれば　
　　　r＝(3V)/(2F)＝[√{detJ(3)}]/(4F)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（4.1.6)

一方，　「傍心E_A」のそれは
　(→PE_A)＝[1/2(F－S_A)]×[－(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]・・・（4.1.1)
　(1.1.3)，（4.1.1)でＰの代わりにAとおけば、(1.1.3)，（4.1.1)はそれぞれ
　　(→AI)　＝[1/(2F)]×[(S_B)(→AB)＋(S_C)(→AC)＋(S_D)(→AD)]　　　　　 ・・・（4.1.7)
　　(→AE_A)＝[1/2(F－S_A)]×[(S_B)(→AB)＋(S_C)(→AC)＋(S_D)(→AD)]　 ・・・（4.1.8)
　（4.1.7)，（4.1.8)より　
　　　　(→AE_A)＝[2F/2(F－S_A)]×(→AI)　・・・(4.1.9)を得る。(2F)/2(F－S_A)>１だから
三点　A，I，E_Aはこの順に一直線上にある。
　 AI：A(E_A)＝1 ：(2F)/2(F－S_A)＝2(F－S_A)：2F＝(－S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)
　　　　　　 ＝(3V)/2F：(3V)/[2(F－S_A)]＝r ：r_A
　これより
　　AI:I(E_A)＝(－S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：2S_A　がでる。
　また　AI：I(I_A)＝(1－κ)：κ＝(λ+μ＋ν)：κ＝(S_B＋S_C＋S_D)：S_A　 …(1.1.10)から
　　(→AI)＝(S_B＋S_C＋S_D)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)×(→AI_A)　・・・（4.1.10)　これを
　(4.1.9)に代入し　
　　(→A(E_A))＝[2F/2(F－S_A)]×(S_B＋S_C＋S_D)/(2F)×(→AI_A)
　　　　　　＝(S_B＋S_C＋S_D)/[2(F－S_A)]×(→AI_A)
　　A(I_A)：A(E_A)＝[2(F－S_A)]：(S_B＋S_C＋S_D)＝(－S_A＋S_B＋S_C＋S_D)：(S_B＋S_C＋S_D)　
　を得て、頂点A、「内心I]，I_A，「傍心E_A」は　この順に「Aから引いた『内心線』」上にある
　ことが証明された。
　([命題3.2]の「証明」終わり）
5.
(1)「四面体ABCD」の「角A内の『傍接球面E_A』」のイメージをここで説明しておこう。

「四面体ABCD」を△BCDが底面にきて頂点Aが上方にくるように平面上に置く。
「四面体ABCD」を上方に持ち上げて、面△ABCをAを始点としてAから辺BCの方向に例えばAB，ACの長さが3倍になるように
　し、面△ABCを下方に引っ張り△AB'C'を作ろう。同様に△ACDも下方に3倍に引っ張り△AC'D'、△ABDも下方に3倍に引っ張って
　△AB'D'として、できた図形を考えよう。この図形を頂点Aを上方になるように平面上に置く。すると辺B'C'，C'D'，D'B'が地面に
　触れて「床」が△BCDの「家みたいな」ものができる。そこで小さなゴムボールを膨らましながらこの家の床下から入れてゆき、
　このボールが台形B'BCC'、台形C'CDD'，台形D'DBB'に「内側」から接して、かつ「床△BCD」に「下から接する」まで膨らませれば
「角A内での△BCDで傍接する『傍接球面』が出来上がる」というわけである。

(2)　3.で「内心I」の「初等幾何学的」な求め方を述べたので「傍心E_A」の場合のそれを述べておく。
　3.の[定理3.1]の(3)のように、「辺ACでの『二等分面』」，「辺ADでの『二等分面』」、「辺ADでの『二等分面』」と
　△BCDと台形B'BCC'の造る「二面角」を「四面体ABCD」の「外部から外部」へ「二等分」する

「辺BCでの『二等分面』」と、△BCDと台形C'CDD'の造る「二面角」を「四面体ABCD」の「外部から外部」へ
「二等分」する「辺CDでの『二等分面』」と、△BCDと台形D'DBB'の造る「二面角」を「四面体ABCD」の
「外部から外部」へ「二等分」する「辺CDでの『二等分面』」の6枚の「平面の交点」はただ一つでそれが、
「傍心E_A」になる。