中学入試45

ＰさんとＱさんと飼い犬ＲはＡ地点→Ｂ地点→Ｃ地点と進むハイキングに出かけました。ＡＢ間の距離は12kmでＡ→Ｂと進む時は上り坂、ＢＣ間の距離は6kmでＢ→Ｃと進む時は下り坂です。Ｐさんは登りは時速4km、下りは時速6kmで歩き、Ｑさんは登りは時速2km、下りは時速3kmで歩きます。また飼い犬Ｒは登りは時速12km、下りは時速18kmで走ります。さて、Ｐ，Ｑ，Ｒの３者は同時にＡ地点を出発し、Ｃ地点に向かいました。Ｐ，Ｑは休まずにＣ地点まで歩きますが、ＲはＰとＱの間を休まずに往復しました。ＱがＣ地点に着くまでにＲは合計何ｋｍ走ることになるでしょうか

ジャンル不詳53

AB=3、AC=4、∠A＝90度の直角三角形ABCの内部に点Ｐを取ったところ、AP:BP:CP=3:9:13となった。この時△PBCの面積を求めてください。

注意：見た目ほど易しくありません。

中学入試44

1から3960までの整数のうち5,8,9,11の中の2つでは割り切れるが残り2つでは割り切れないものはいくつありますか。たとえば40は5と8では割り切れるが9でも11でも割り切れないのでこれにあてはまりますが、8や440はこれにはあてはまりません。

中学入試43

連続した3つの整数の積を求めたら5桁の数：△△△50となりました。△△△にあてはまる３けたの整数は何ですか。

ジャンル不詳52

900以下の素数のうち、5番目に大きいものは何ですか。

（ヒントにはなりませんが）
素数はずいぶん気まぐれに出てくるのだということを感じていただければ幸いです。連発して出てきたかと思うと大きく開いたりする。

ジャンル不詳51

ある自然数を17で割ると5余り、19で割ると10余る。このような自然数のうち最も小さいものは何ですか

ジャンル不詳50

AB=8、AC=5の鋭角三角形△ABCの辺BC上に点Pをとり、ABについてPと対称の点をQ、ACについてPと対称の点をRとし、QRを結ぶ。QRとABの交点をS、QRとACの交点をTとするとQS=ST=TRであったという。STの長さはいくつになりますか

ジャンル不詳49

２ｘ＋３ｙ＋５ｚ＝９１を満たす整数（ｘ、ｙ、ｚ）の組み合わせのうちｘ、ｙ、ｚのいずれも負でない組み合わせの個数を求めてください

中学入試42

四角形ABCDは対角線ACについて線対称である。ABの中点をE、DCの中点をF、BEの中点をG、CFの中点をHとおくと□AEFDの面積は11、□BCFEの面積は13であったという。それでは□BCHGの面積はいくつになりますか

中学入試41

サイコロを3回振って出た目を記録する。この3つの数から構成される3桁の数が、ある順番に並べ替えると4の倍数となりうる数である確率はいくつですか。たとえば2,2,3と出た時は232と並べ替えると４の倍数となるからこれに当てはまりますが、1,4,3と出た時はどう並べても4の倍数にならないのでこれに当てはまりません。

ジャンル不詳48

∠Ａが直角である△ABCがあり、これと半径が等しいｎ個の円E(1)、E(2)、・・・、E(ｎ)がある。これらの円は
E(1)は辺ABと辺BCとE(2)に接する
E(2)はE(1)とE(3)と辺BCに接する
･･･
E(m)はE(m-1)とE(m+1)と辺BCに接する（ただし2≦m≦n-1)
･･･
E(n)は辺ACと辺BCとE(n-1)に接する。
ものとします。
このようなｎ個の円の半径を数列と考え、r(n)とおくことにし、
r(3)=7/11、r(8)=1/3であるならば、△ABCの面積はいくつですか

ジャンル不詳47

∠Cが９０°である直角三角形ＡＢＣがある。ＡＢ＝ｃ、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂとおく。もしａ、ｂ、ｃがすべて整数ならばこの斜辺でない辺と他の２つの辺の延長線とに接する傍接円の半径も整数である。これは正しいでしょうか。
正しければ証明してください。誤りならば反例を一つあげてください。

ねんのため
先日、m,nを整数として、c=m^2+n^2、a=m^2-n^2、b=2mnとおけばc^2=a^2+b^2を満たすという話をしましたが、c^2=a^2+b^2を満たす整数(a,b,c)の組み合わせはすべてこのようにおくことが出来るという証明はしておりません。これを使われる際はこの証明をしてから使ってください。（言い換えれば、a,b,cは整数m,nを使ってこのようにおけるから傍接円の半径は整数に決まっているとは言えませんよと言っているのです）

中学入試40

あけましておめでとうございます。ことしもよろしくおねがいいたします

早速ですが

□ABCDがありBCの中点をM、ADの中点をNとします。AB=6、BC=14、CD=8、DA=4、MN=5のとき
四角形ABCDの面積を求めて下さい。

中学入試39

三角形ＡＢＣがあり、長さが４よりも大きい辺ＡＢ上に点Ｐ，ＱをＰＱ＝ＱＢ＝２となるように取り、また長さが７である辺ＡＣ上に点Ｒ，ＳをＡＲ＝３、ＲＳ＝ＳＣ＝２となるようにそれぞれ取ります。
ＰＲの中点をＴ、ＢＣの中点をＵ、ＱＳとＴＵの交点をＶとするとき、□ＱＢＵＶの面積と□ＳＲＴＶの面積は等しくなりました。このときＡＰの長さを求めて下さい。

今年の問題もこれで終わりになります。
正月も１週目からこの調子でどんどんやります。お楽しみに。

それではよいお年を！

中学入試38

△ABCにおいて、辺BC上にBD:DC=2:1となる点Ｄ、辺AB上にAE：EB=2:1となる点Ｅをとります。三角形ABCをＡとＤが重なるように折り曲げたところ、折り目はＥと辺AC上の点Ｆを通りました。このときAFの長さはACの何倍になりますか