東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

整数問題(10)[開成高]

2017-12-08 11:56:28 | 数学・算数の話

今回は、2005年開成高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「2005より小さい正の整数の中で、2005との最大公約数が1であるものは何個あるか。なお、401は素数である。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

最大公約数が1ということは、1から2004までのある整数と2005が互いに素ということです。

つまり、2004個の整数から2005の約数を除いたものが、2005と互いに素になり、これらの整数の個数を計算すればOKです。

そこで、2005を素因数分解すると、
2005=5×401
で、これから1から2004までの整数で2005の約数になるものは、5および401の倍数です。

まず、5の倍数の個数を勘定すると、
2004÷5=400・・・4
から400個になります。

次に、401の倍数の個数は、
2004÷401=・・・400
から4個になり、それらは、401×1、401×2、401×3、401×4で、これらのなかに5の倍数はありません。

したがって、
(2005との最大公約数が1である整数の個数)=2004-(5の倍数の個数)-(401の倍数の個数)
                       =2004-400-4
                       =1600
から 1600(個) で、これが答えです。


簡単な問題です。

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