東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(87)

2016-12-13 13:11:32 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

午前中は少し暖かく感じたのですが、昼過ぎから冷え込んで、夜には雨も降り始め、厳しい寒さになります。天気は明日から回復しますが、今シーズン一番の寒気団が来るので一層寒くなるようです。暖かくして過ごしましょう。

さて、今回は2014年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題です。

問題は、
「正8角形があり、その頂点に1以上8以下の整数を1つずつ書き込む。このとき、以下の2条件をみたすような書き込み方は何通りあるか。ただし、回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える。
●書き込まれた数はすべて異なる。
●隣り合う2頂点に書き込まれた数は互いに素である。 」
です。

早速、問題の正8角形を描きましょう。


▲図1.問題の正8角形を描きました

図1の部に、隣り合う2つの数は互いに素になるように1から8までの数を1つずつ書き込む場合の数を求める問題です。

そこで、まず1から8までの数で、互いに素でない組合せを調べると、2、4、6、8は、公約数が2なので、互いに素ではありません。さらに、3,6は、公約数が3なので、これも互いに素ではありません。

つまり、2、4、6、8と3、6は隣り合うに書き込むことはできません。

次に、2、4、6、8と3、6の組合せについて、への書き込み方を調べるのですが、ここは、個数の多い2、4、6、8を先に調べるのがよいでしょう。

2、4、6、8の4個の数のへの書き込み方は、図2のように、上下左右に書き込む場合(図2の左側)と右上、右下、左上、左下に書き込む場合(図2の右側)があり、それぞれの場合について、4個の数の書き込み方は、4×3×2×1=24通りです。つまり、4個の数の書き込み方は、合わせて24×2=48通りになります。


▲図2.2、4、6、8の書き込み方

続いて、3の書き込みですが、図3のように、6の両隣に書き込むことができないので、残りの2箇所のに書き込むことになり、それは2通りです。


▲図3.3の書き込み方

あとは、残った3個所のに、残った1、5、7を書き込みますが、その書き込み方は、3×2×1=6通りです。

以上から、1から8までの数の書き込み方は、48×2×6=576通りで、これが答えです。


簡単な問題です。

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